辅助角公式

前言

辅助角公式在三角变换中的角色太重要了。三角变换中的许多变形都要由这个公式来完成最终的华丽转身，摇身一变为正弦型$f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )+k$或余弦型$g(x)=A\cos (\omega x+\varphi )+k$，从而完成求周期，求值域、求单调性，求对称性，求奇偶性等等的解题要求。

辅助角公式

变形前的模样：$3\sin x+4\cos x$；$\sin x+\cos x$；$\frac{\sqrt{3}}{2}sin\theta \pm \frac{1}{2}cos\theta$；$\sqrt{3}sin\theta \pm cos\theta$；

抽象后的模样：$a\sin \theta +b\cos \theta$，其中系数$a,b\in R$；一般情形下$a\ne 0$，$b\ne 0$，

常用变形依据：

$\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$[此处是逆向使用公式；化为正弦型，不容易出错]

$\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )$[此处是逆向使用公式；化为余弦型，很容易出错]

具体变形过程：¹

$$\begin{array}{rl}a\sin \theta +b\cos \theta & =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta +\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta \right)\\ & =\sqrt{a^2+b^2}(\cos \varphi \cdot \sin \theta +\sin \varphi \cdot \cos \theta )\\ & =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )\end{array}$$

备注：其中辅助角 $\varphi$ 满足条件 $tan\varphi =\frac{b}{a}$，由于有辅助角 $\varphi$ 的参与，使得原来的两种三角函数 $\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的线性表示就可以转化为一种三角函数[正弦或者余弦]，所以这个公式好多人就随口称之为辅助角公式，也有人称为化一公式。此处针对辅助角 $\varphi$ 主要强调其存在性而不是唯一性，比如上述变形的结果 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$ ，也可以等价写成$\sqrt{a^2+b^2}$$\sin (\theta +2k\pi +\varphi )$，$k\in Z$，由于辅助角 $\varphi$ 主要强调其存在性而不是唯一性，由最简原则可知，我们令 $k=0$ ，即得到结果 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\varphi )$，

在实际学习过程中，如果呆板的利用上述公式，会使得我们的学习变得很被动，我们可以将 $a$、$b$ 中的公因式先提取到最外层，使得 $a$、$b$ 变得更小，更好操作，比如

$$\begin{array}{rl}& \frac{1+\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cos \theta \\ & =\frac{1+\sqrt{3}}{2}(\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta )\\ & =\frac{1+\sqrt{3}}{2}\times 2(\sin \theta \cdot \frac{1}{2}+\cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =(\sqrt{3}+1)\sin (\theta +\frac{\pi }{3})\end{array}$$

• 在教学实践中，在使用辅助角公式之前，往往多见先使用下述的三角变换[非常高频的使用]；

二倍角正弦公式的逆用：$2\sin \theta cos\theta =\sin 2\theta$；

二倍角余弦公式的逆用：$2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta =\cos 2\theta$；

然后将二者的结果的线性表示$a\sin 2\theta +b\cos 2\theta$，$a，b$是其相关的实数系数，再利用辅助角公式化一即可；

• 若题目中出现$\sin (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x+\frac{\pi }{3})$，往往是将$2x+\frac{\pi }{3}$看做一个整体来变形[此时同时考查三角变换和整体思想]，比如

➊ $\sin (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x+\frac{\pi }{3})$$=\sqrt{2}[\sin (2x+\frac{\pi }{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos (2x+\frac{\pi }{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}]$

$=\sqrt{2}\sin [(2x+\frac{\pi }{3})+\frac{\pi }{4}]$$=\sqrt{2}\sin (2x+\frac{7\pi }{12})=\sqrt{2}\cos (2x+\frac{\pi }{12})$

➋ $f(x)=\sin (2x-\theta +\frac{\pi }{6})-\sqrt{3}\cos (2x-\theta +\frac{\pi }{6})$

$=2\sin (2x-\theta +\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3})=2\sin (2x-\theta -\frac{\pi }{6})$；

• 注意：形如$\sin (x+\frac{\theta }{2})\cdot \cos (x+\frac{\theta }{2})$的结构，不是使用辅助角公式作变形，原因是其不符合使用条件；

$\sin (x+\frac{\theta }{2})\cdot \cos (x+\frac{\theta }{2})=\frac{1}{2}\sin (2x+\theta )$，

高频变形

下述的三角变换在教学实践和各类考试中出现的频次很高，需要我们烂熟于心：

应用场景

应用于三角函数求周长类的题目中，比如

• 在$\Delta ABC$中，已知$\angle A=\frac{\pi }{3}$，求$\sin B+\sin C$的取值范围[核心变形，重点理解和掌握]

分析：$\sin B+\sin C=\sin B+\sin (\frac{2\pi }{3}-B)$；

$=\sin B+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B$

$=\frac{3}{2}\sin B+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B$

$=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin B+\frac{1}{2}\cos B)$

$=\sqrt{3}\sin (B+\frac{\pi }{6})$

应用于三角函数求面积类的题目中，比如

• 在$\Delta ABC$中，已知$\angle A=\frac{\pi }{3}$，求$sinB\cdot sinC$的取值范围[核心变形，重点理解和掌握]

分析：$sinB\cdot sinC=sinB\cdot sin(\frac{2\pi }{3}-B)$；

$=\sin B(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B)$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin B\cdot \cos B+\frac{1}{2}{\sin }^{2}B$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2B+\frac{1}{4}(2{\sin }^{2}B)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2B+\frac{1}{4}(1-\cos 2B)$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2B-\frac{1}{4}\cos 2B+\frac{1}{4}$

$=\frac{1}{2}(\sin 2B\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\cos 2B\cdot \frac{1}{2})+\frac{1}{4}$

$=\frac{1}{2}\sin (2B-\frac{\pi }{6})+\frac{1}{4}$

需要注意

通过下面的题目，我们可以体会到将 $a\sin x+b\cos x$ 转化为正弦型的思路不仅使用辅助角公式一种，还可以是使用和差化积转化，也可以是结合诱导来转化，当系数含有根式时，辅助角公式也可能是操作难度最大的一种。

将函数 $f(x)=\sin (4x+\frac{\pi }{3})+\sin (4x-\frac{\pi }{6})$ 化归为正弦型函数；

解法1：我们最容易想到的思路，打开整理结合辅助角公式，即

$f(x)=\sin (4x+\frac{\pi }{3})+\sin (4x-\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}-1}{2}\cos 4x$

到此，思维暂时受阻，$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}+1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{3}-1}{2}{)}^2}=\sqrt{2}$，$\sin 15^{\circ }=\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，

$=\sqrt{2}(\sin 4x\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\sqrt{2}}+\cos 4x\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}})$

$=\sqrt{2}(\sin 4x\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\cos 4x\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})$

$=\sqrt{2}(\sin 4x\cos \frac{\pi }{12}+\cos 4x\sin \frac{\pi }{12})$

$=\sqrt{2}\sin (4x+\frac{\pi }{12})$

解法2：使用和差化积公式$\sin \alpha$$+$$\sin \beta$$=$$2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$，此时就能感受到和差化积公式的作用了，以此题为例，第二个因式中没有变量，只剩下角了。

$f(x)=\sin (4x+\frac{\pi }{3})+\sin (4x-\frac{\pi }{6})$

$=2\sin \frac{(4x+\frac{\pi }{3})+(4x-\frac{\pi }{6})}{2}\cos \frac{(4x+\frac{\pi }{3})-(4x-\frac{\pi }{6})}{2}$

$=2\sin (4x+\frac{\pi }{12})\cos \frac{\pi }{4}$

$=\sqrt{2}\sin (4x+\frac{\pi }{12})$

解法3：使用广义互余公式化简，我们使用比较多的广义互余公式是 $\sin (\theta +\frac{\pi }{6})$$=$$\cos (\frac{\pi }{3}-\theta )$，其中两个角中字母的系数互为相反数，如 $(\theta +\frac{\pi }{6})$$+$$(\frac{\pi }{3}-\theta )$$=$$\frac{\pi }{2}$，但实际考查中可能是两个角中字母的系数相同，此时它们的和不是 $\frac{\pi }{2}$ ，但是其差$(\theta +\frac{\pi }{6})$$-$$(\theta -\frac{\pi }{3})$$=$$\frac{\pi }{2}$，比如实战中的 $\sin (4x+\frac{\pi }{3})$$+$$\sin (4x-\frac{\pi }{6})$，两个角 $(4x+\frac{\pi }{3})-(4x-\frac{\pi }{6})=\frac{\pi }{2}$，此时只要利用关系 $\sin (4x-\frac{\pi }{6})$$=$$-\cos (4x+\frac{\pi }{3})$，也能简化运算，具体如下

$f(x)=\sin (4x+\frac{\pi }{3})+\sin (4x-\frac{\pi }{6})$

$=\sin (4x+\frac{\pi }{3})+\sin (4x+\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2})$

$=\sin (4x+\frac{\pi }{3})+\sin [(4x+\frac{\pi }{3})-\frac{\pi }{2}]$

$=\sin (4x+\frac{\pi }{3})-\cos (4x+\frac{\pi }{3})$

$=\sqrt{2}\left[\sin (4x+\frac{\pi }{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\cos (4x+\frac{\pi }{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$

$=\sqrt{2}\sin (4x+\frac{\pi }{12})$

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