[数据结构] RBTree && 模拟实现RBTree

发布于：2024-08-20 ⋅ 阅读:(145) ⋅ 点赞:(0)

标题：[数据结构] RBTree && 模拟实现RBTree

@水墨不写bug

目录

一、红黑树的概念

二、map和set的封装

 三、红黑树的实现

1、红黑树节点的定义

2、红黑树的结构

3、红黑树的插入

1.名称 

 2.插入节点的颜色

红黑树的insert 实现

情况一：不能确定的uncle  为红  

情况二： uncle  不存在/uncle 存在且为黑  

 

 正文开始：

一、红黑树的概念

        普通二叉树结构在存储数据时，相对于链式结构并没有太大优势，于是就出现了搜索二叉树，搜索二叉树的优势在于在查找时，一般情况下复杂度可以控制在O(logN)。但是普通的二叉搜索树无法避免的会出现一种特殊情况：当插入近似有序的值时，搜索树会退化为单链表。

        解决二叉树退化为链表的问题，也就是让二叉树尽量平衡，有多重方法：如AVL树，红黑树等。本文就介绍红黑树——一种令二叉搜索树尽量平衡的策略。

        红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

（红黑树概貌）

 红黑树的规则：

        1、每个节点只有两种颜色（红、黑）。

        2、根节点为固定的颜色：黑色。

        3、如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点是黑色的；（或者说：没有连续的红节点）

        4、对于树上的每一个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，都包含相同数目的黑色节点。

        5、每个叶节点是黑色的。（此处的叶节点指空节点）

        思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

        由规则4，从根节点出发到达任意一个叶节点的路径上，黑节点的数目是相同的。拉开差别的是红节点。由规则3，红节点只能存在于两个黑节点之间，所以最短路径就是纯黑节点，最长路径就是每两个黑节点之间存在一个红节点，最终叶子节点也是红。当且仅当这时，最短路径长度*2刚好等于最长路径的长度。 于是最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。 

二、map和set的封装

        map和set在底层实现的时候，是通过封装红黑树来实现的。set看上去只有一个key，map看上去有一对值<key,val>;但是实际上在实现时，key和数据是分开的：

        set在复用红黑树时，传入的模板参数包括Key和Value，只不过两者相等，都是整形。

        map在复用红黑树时，为了保持一致，传入的模板参数包括Key和Value，只不过Value是自定义的结构体类型，也就是pair<K,V>。

        (也许你在思考后仍然不理解，不过好在我会在后面专门写一篇map/set封装的文章，具体讲解封装的细节)

 三、红黑树的实现

1、红黑树节点的定义

        在此，由于我们暂时不考虑map、set的封装，所以我们的红黑树内部的数据固定写为pair类：(传入的两个模板参数为Key，Value)

enum COLOR
{
	BLACK,
	RED
};

template<class K,class V>
struct BRTreeNode
{
	BRTreeNode<K, V>* _parent;
	BRTreeNode<K, V>* _left;
	BRTreeNode<K, V>* _right;
	pair<K, V> _kv;
	COLOR _col;

	BRTreeNode(const pair<K,V>& kv = pair<K,V>())
		:_parent(nullptr)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{}
};

 

2、红黑树的结构

         由于实现红黑树的难点在于插入后的节点颜色控制与极度不平衡时的旋转，所以我们主要实现红黑树的插入逻辑。

template<class K,class V>
class BRTree
{
	typedef BRTreeNode<K, V> Node;
public:
	BRTree();
		
	bool insert(const pair<K,V>& kv);
	
    ~BRTree();
	
private:
	//左单旋
	void RotateL(Node* parent);
	
	//右单旋
	void RotateR(Node* parent);
	
	Node* _root;
};

 

3、红黑树的插入

        红黑树的插入分有多种情况，在分情况讨论之前，我们现明确几个概念并达成几个共识：

1.名称 

当插入节点的时候：

        新增节点称为cur；

        父节点称为parent；

        祖父节点称为grandparent；

        祖父节点除父亲节点外另一节点称为uncle；

他们在本文中都用首字母作为简写。

 2.插入节点的颜色

        当我们插入节点的时候，插入节点的颜色是什么呢？

        当插入的是黑节点，那么从根到每一个叶节点的黑节点数目不同，整棵树都不再是红黑树。

        当插入的是红节点，会有两种情况：如果父亲为黑，那么插入后这棵树仍是合法的红黑树。如果父亲为红，违背了不能存在连续的红节点，整棵树不再是红黑树。

        于是，可以得出结论：插入节点的颜色应该为红色，这样对整棵树的影响可以达到最小。

        当我们插入的是红节点时，我们如果父亲是黑，则不需调整；如果父亲是红，这就到了需要调整的时候：

插入为红，父亲为红，可以推知祖父为黑。

         使用假设法，如果祖父为红，则父亲和祖父两个节点在插入新增节点之前就是连续的红节点了，已经违背了红黑树的规则。

        所以到这里，我们可以确定插入节点（cur）为红，父亲（parent）为红，祖父（grandparent）为黑，而唯一不能确定的就是uncle节点的颜色和状态，于是uncle节点的状态和颜色就是分类讨论的依据。

红黑树的insert 实现

情况一：不能确定的uncle  为红  

        这种情况是比较简单的情况，只需要简单的变色就可以解决问题：

变色策略：p和u变为黑，g变为红。

        接下来需要将g看做是cur，继续向上变色调整。 

其实上述情况会有一种变式，具体结构如下：

        红色四边形表示只含有红色节点（其实就是一个红节点），黑色的四边形表示只含有一个黑色节点的红黑树。 

        如果新增节点在红色四边形上，那么就会导致22这个黑色节点变成红色，具体来说如下：

        新插入的节点是黑字的cur

        变色后：导致22节点颜色变为红色

        这个时候，黑色的g当成cur继续向上调整：

        这就间接转化为第一种情况的最简结构了：

        所以，要达到第一种情况，可能是插入后直接达到；也可能是向上调整后达到。第一种情况的最简形态的逻辑已经包含了所有其他形态的逻辑。

 

情况二： uncle  不存在/uncle 存在且为黑  

        uncle不存在：（四种情况）

 情况A：右单旋

旋转后变色：

 

情况B：左右双旋

旋转后变色：

 

情况C：左单旋

旋转后变色：

 情况D：右左双旋

 旋转后变色：

 

       

        旋转已经在AVL树的模拟实现中有详细的讲解，如果你对AVL树不熟悉，参考这篇：

《AVL树详解与模拟实现》

         这四种情况是uncle不存在的情况，也是uncle存在且为黑的情况的最简形态。是的，uncle存在且为黑的逻辑与uncle不存在的逻辑是一致的。

         uncle存在且为黑：

         具体分析我们可以得知：如果d、e为空，那么a、b、c中有一个黑节点。（全部情况以此类推，只要保证每条路径的黑节点数目相同即可）

         在调整过程中，会出现如下四种情况：（可以确定，这些情况就是上述uncle不存在时的四种情况的变式）

 

 

 

 这里不在重复旋转的过程。

        综上，我们要实现红黑树插入的逻辑，就需要分两种大情况来讨论，这两种情况分别是：

        uncle存在且为红；

        uncle不存在，或者存在且为黑；

        这两种情况都有一个最简的形态，最简形态的逻辑与其他形态的逻辑基本一致，所以红黑树的逻辑并不难理解。

        虽然红黑树的逻辑不难理解，但是难点在于实现时的判断，通过树的结构判断需要走哪种逻辑。

        这里，给出红黑树的实现，作为参考；

	enum COLOR
	{
		BLACK,
		RED
	};

	template<class K,class V>
	struct BRTreeNode
	{
		BRTreeNode<K, V>* _parent;
		BRTreeNode<K, V>* _left;
		BRTreeNode<K, V>* _right;
		pair<K, V> _kv;
		COLOR _col;

		BRTreeNode(const pair<K,V>& kv = pair<K,V>())
			:_parent(nullptr)
			,_left(nullptr)
			,_right(nullptr)
			,_kv(kv)
			,_col(RED)
		{}
	};
	template<class K,class V>
	class BRTree
	{
		typedef BRTreeNode<K, V> Node;
	public:
		BRTree()
			:_root(nullptr)
		{}
		bool insert(const pair<K,V>& kv)
		{
			//对于空的特殊处理
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(kv);
				_root->_col = BLACK;//根节点为黑
				return true;
			}
			//找到插入位置
			Node* cur = _root, * parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (cur->_kv.first < kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_kv.first > kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{//插入失败,有相同值
					return false;
				}
				cur = new Node(kv);
				if (cur->_kv.first < kv.first)
				{
					parent->_right = cur;
				}
				else
				{
					parent->_left = cur;
				}
				cur->_parent = parent;
				//以上的逻辑与二叉搜索树完全一致，到这里二叉树逻辑结束，红黑树开始
				//根据树的结构 分情况讨论
				//cur为红，p为红，g为黑，
				while (parent &&cur->_parent->_col == RED)
				{
					Node* grandfather = parent->_parent;
					if (parent == grandfather->_left)
					{
						//uncle在右侧
						//        g
						//   p          u
						//	
						Node* uncle = grandfather->_right;
						if (uncle && uncle->_col == RED)//u存在且为红
						{
							parent->_col = uncle->_col = BLACK;
							grandfather->_col = RED;

							//继续向上处理
							cur = grandfather;
							parent = cur->_parent;
						}
						else//u不存在或者u存在且为黑
							//旋转
						{
							if (cur == parent->_left)
								//单旋
							{
								RotateR(grandfather);
								grandfather->_col = RED;
								parent->_col = BLACK;
							}
							else
								//双旋
							{
								RotateL(parent);
								RotateR(grandfather);
								grandfather->_col = RED;
								parent->_col = BLACK;
							}
						}
					}
					else
					{
						//uncle在左侧
						//        g
						//   u          p
						//					
						Node* uncle = grandfather->_left;
						if (uncle && uncle->_col == RED)//uncle存在且为红
						{
							parent->_col = uncle->_col = BLACK;
							grandfather->_col = RED;

							cur = grandfather;
							parent = grandfather->_parent;
						}
						else//uncle不存在或者存在且为黑
							//旋转
						{
							if (cur == parent->_right)
								//单旋
							{
								RotateL(grandfather);
								grandfather->_col = RED;
								parent->_col = BLACK;
							}
							else
								//双旋
							{
								RotateR(parent);
								RotateL(grandfather);
								grandfather->_col = RED;
								parent->_col = BLACK;
							}
						}
					}
				}
				//无论如何变化颜色，根节点的颜色总是黑色
				_root->_col = BLACK;
				return true;
			}
		}
	private:
		//左单旋
		void RotateL(Node* parent)
		{
			Node* subL = parent->_left, * subLR = subL->_right;
			Node* Parentparent = parent->_parent;
			
			//调整子树内部
			subL->_right = parent;
			parent->_parent = subL;

			parent->_left = subLR;
			if (subLR)
				subLR->_parent = parent;

			//调整子树与Parentparent
			if (Parentparent == nullptr)
			{
				_root = subL;
				subL->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (parent == Parentparent->_left)
				{
					subL = Parentparent->_left;
				}
				else
				{
					subL = Parentparent->_right;
				}
				subL->_parent = Parentparent;
			}
		}
		//右单旋
		void RotateR(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right, * subRL = subR->_left;
			Node* Parentparent = parent->_parent;

			//子树内部关系
			subR->_left = parent;
			parent->_parent = subR;

			parent->_right = subRL;
			if (subRL)
				subRL->_parent = parent;

			//子树与Parentparent关系
			if (Parentparent == nullptr)
			{
				_root = subR;
				subR->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (parent == Parentparent->_left)
				{
					subR = Parentparent->_left;
				}
				else
				{
					subR = Parentparent->_right;
				}
			}
		}
		Node* _root;
	};

         到这里，除了删除操作以及一些其他的简单接口，红黑树的实现基本完成了。

        红黑树是STL一些重要容器的底层结构，理解红黑树对于深入了解STL有重要意义。

完~

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