二叉搜索树
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二叉搜索树
二叉搜索树概念
二叉搜索树又称二叉排序树,它或者是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
二叉搜索树操作
二叉搜索树也叫排序二叉树,当中序遍历的时候就是有序的,因为根据二叉搜索树的规则,左子树比根小,右子树比根大,中序遍历的顺序是:左子树 -> 当前节点 -> 右子树。
因为先遍历左子树,所以左子树中的节点值都小于当前节点的值;再遍历当前节点,再遍历右子树,所以右子树中的节点值都大于当前节点的值。这种有序性使得BST在中序遍历时是有序的。
二叉树的结构
要实现二叉搜索树,我们首先需要实现一个结点的类:
- 结点类当中包含三个成员变量:结点的值、左指针、右指针。
- 结点类当中需要实现一个构造函数,用于构造指定结点值的结点。
template<class K>
struct BSTNode
{
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
K _key;
BSTNode(cosnt K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
};
二叉搜索树的查找
a、从根开始比较,查找,比根大则往右边走查找,比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次,走到到空,还没找到,这个值不存在。
非递归实现
bool find(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
return false;
}
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
递归实现
bool _findr(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key == key)
{
return true;
}
if (root->_key > key)
{
return _findr(root->_left, key);
}
else
{
return _findr(root->_right, key);
}
}
bool findr(const K& key)
{
return _findr(_root, key);
}
二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下:
a. 树为空,则直接新增节点,赋值给root指针
b. 树不空,按二叉搜索树性质查找插入位置,插入新节点
因为默认二叉搜索树不允许重复的数据,因为意义不大,所以有可能插入失败,所以这里要加bool类型作为返回值判断插入成功还是失败。
非递归实现
bool insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
return true;
}
递归实现
递归插入函数的子函数接收参数root时,必须采用引用接收,因为只有这样我们才能将二叉树当中的各个结点连接起来。
重点理解
当我们传引用的时候,递归到下一层函数栈帧的时候传过去的就是上一次函数栈帧节点的左指针或者是右指针,也就是这个BSTNode
节点里面的_left
成员变量或者_right
成员变量,但是当传值的时候就相当于用一个指针变量接收上一层函数栈帧传过来的BSTNode
节点的地址。
bool _insert(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (root->_key > key)
{
return _insert(root->_left,key);
}
else if (root->_key < key)
{
return _insert(root->_right,key);
}
else
{
return false;
}
}
bool insertr(const K& key)
{
return _insert(_root, key);
}
二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中,如果不存在,则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况:
- 要删除的结点无孩子结点
- 要删除的结点只有左孩子结点
- 要删除的结点只有右孩子结点
- 要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况,实际情况a可以与情况b或者c合并起来,因此真正的删除过程如下:
情况b:删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点–直接删除
情况c:删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点–直接删除
情况d:在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小),用它的值填补到被删除节点中,再来处理该结点的删除问题–替换法删除
非递归实现
bool erase(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
return false;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 找右树最小节点替代,也可以是左树最大节点替代
Node* prightmin = cur;
Node* rightmin = cur->_right;
while (rightmin->_left)
{
prightmin = rightmin;
rightmin = rightmin->_left;
}
cur->_key = rightmin->_key;
if (prightmin->_left == rightmin)
{
prightmin->_left = rightmin->_right;
}
else
{
prightmin->_right = rightmin->_right;
}
delete rightmin;
}
return true;
}
}
return false;
}
递归实现
bool _erase(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key > key)
{
return _erase(root->_left, key);
}
else if (root->_key < key)
{
return _erase(root->_right,key);
}
else
{
if (root->_left == nullptr)
{
Node* del = root;
root = root->_right;
delete del;
return true;
}
else if (root->_right == nullptr)
{
Node* del = root;
root = root->_left;
delete del;
return true;
}
else
{
Node* rightmin = root->_right;
while (rightmin->_left)
{
rightmin = rightmin->_left;
}
swap(root->_key, rightmin->_key);
return _erase(root->_right, key);
}
}
}
拷贝构造函数
拷贝一棵和所给二叉搜索树相同的树即可。
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* newnode = new Node(root->_key);
newnode->_left = Copy(root->_left);
newnode->_right = Copy(root->_right);
return newnode;
}
赋值运算符重载函数
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
二叉搜索树的应用
K模型:K模型即只有key作为关键码,结构中只需要存储Key即可,关键码即为需要搜索到的值。
比如:给一个单词word,判断该单词是否拼写正确,具体方式如下:
- 以词库中所有单词集合中的每个单词作为key,构建一棵二叉搜索树
- 在二叉搜索树中检索该单词是否存在,存在则拼写正确,不存在则拼写错误。
KV模型:每一个关键码key,都有与之对应的值Value,即<Key, Value>的键值对。
该种方式在现实生活中非常常见:
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系,通过英文可以快速找到与其对应的中文,英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对;
再比如统计单词次数,统计成功后,给定单词就可快速找到其出现的次数,单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
实现代码如下:
namespace K
{
template<class K,class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K,V>* _left;
BSTreeNode<K,V>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key,const V& value)
:_key(key),
_value(value),
_left(nullptr),
_right(nullptr)
{}
};
template <class K,class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K,V> Node;
public:
bool insert(const K& key,const V& vlaue)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key,vlaue);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key,vlaue);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
return true;
}
Node* find(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " : " << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
if (root->_key == key)
{
return root;
}
if (root->_key > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
if (root->_key < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
return nullptr;
}
Node* FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
bool erase(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
return false;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = _root->_right;
}
else
{
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
//if (cur == _root)
if (parent == nullptr)
{
_root = _root->_left;
}
else
{
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
Node* minleft = cur->_right;
Node* pminleft = cur;
while (minleft->_left)
{
pminleft = minleft;
minleft = minleft->_left;
}
cur->_key = minleft->_key;
/*if (pminleft->_left == minleft)
if (pminleft->_left == minleft)
{
pminleft->_left = minleft->_right;
}
else
{
pminleft->_right = minleft->_right;
}*/
if (cur->_right == minleft)
{
pminleft->_right = minleft->_right;
}
else
{
pminleft->_left = minleft->_right;
}
delete minleft;
}
return true;
}
}
return false;
}
bool _Erase(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key > key)
{
return _Erase(root->_left, key);
}
else if (root->_key < key)
{
return _Erase(root->_right, key);
}
else
{
if (root->_left == nullptr)
{
Node* del = root;
root = root->_right;
delete del;
return true;
}
else if (root->_right == nullptr)
{
Node* del = root;
root = root->_left;
delete del;
return true;
}
//else
//{
// Node* minright = root->_right;
// while (minright->_left)
// {
// minright = minright->_left;
// }
// /*swap(root->_key, minright->_key);
// return _Erase(root->_right, key);*/
// root->_key = minright->_key;
// return _Erase(root->_right, minright->_key);
//}
else
{
Node* current = root->_right;
Node* parent = root;
while (current->_left != nullptr)
{
parent = current;
current = current->_left;
}
root->_key = current->_key;
if (parent->_right == current)
{
root->_right = current->_right;
}
else
{
parent->_left = current->_right;
}
delete current;
return true;
}
}
}
bool Erase(const K& key)
{
return _Erase(_root, key);
}
void _Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Destroy(root->_left);
_Destroy(root->_right);
delete root;
}
~BSTree()
{
_Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return nullptr;
}
Node* newnode = new Node(root->_key);
newnode->_left = Copy(root->_left);
newnode->_right = Copy(root->_right);
return newnode;
}
BSTree(const BSTree<K,V>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree() = default;
BSTree<K,V>& operator=(BSTree<K,V> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
给一个单词word,判断该单词是否拼写正确
void test1()
{
K::BSTree<string, string> dict;
dict.insert("string", "字符串");
dict.insert("tree", "树");
dict.insert("left", "左边、剩余");
dict.insert("right", "右边");
dict.insert("sort", "排序");
string s;
while (cin >> s)
{
K::BSTreeNode<string, string>* ret = dict.FindR(s);
if (ret)
{
cout << ret->_key << " : " << ret->_value << endl;
}
else
{
cout << "抱歉找不到" << endl;
}
}
}
统计水果出现的次数
void TestBSTree4()
{
// 统计水果出现的次数
string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
K::BSTree<string, int> count;
for (const string& e: arr)
{
auto ret = count.FindR(e);
if (ret == nullptr)
{
count.insert(e, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
count.InOrder();
}
二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找,查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能
对有n个结点的二叉搜索树,若每个元素查找的概率相等,则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数,即结点越深,则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合,如果各关键码插入的次序不同,可能得到不同结构的二叉搜索树:
最优情况下,二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树),其平均比较次数为: l o g 2 N log_2 N log2N
最差情况下,二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支),其平均比较次数为: N 2 \frac{N}{2} 2N