1 行列式

1.1 克拉默法则

1.2 基本性质

1. 交换性质：
   行列式的行列互换，行列式的值不变。

2. 对角矩阵的行列式：
   对于对角矩阵（或更一般的上三角矩阵或下三角矩阵），行列式等于对角线上元素的乘积。 $$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$$

3. 矩阵乘积的行列式：
   两个矩阵相乘的行列式等于它们行列式的乘积。

   $$\det(AB) = \det(A) \det(B)$$

4. 行列互换的行列式：
   交换矩阵的两行（或两列），行列式取相反数。

   $$\det(A) = -\det(B)$$

5. 相同行（或列）的行列式：
   如果矩阵的两行（或两列）相同，则该行列式为零。

6. 比例行（或列）的行列式：
   如果矩阵的两行（或两列）成比例，则该行列式为零。

7. 加法性质：
   如果矩阵的某一行（或某一列）是两行（或两列）的和，则行列式等于这两行（或两列）分别替换的行列式之和。

8. 行列式的行数与列数：
   行列式仅对方阵（行数等于列数的矩阵）定义。

9. 行列式与矩阵的转置：
   矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

   $$\det(A) = \det(A^T)$$

10. 单位矩阵的行列式：
    单位矩阵的行列式为1。

    $$\det(E) = 1$$

11. 矩阵的行（或列）倍加法不变性：
    对矩阵的某一行（或列）进行倍加（即将该行（或列）加上另一行（或列）的某个倍数）操作，行列式不变。

12. 矩阵的数乘：
    如果将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个数 $c$，那么行列式等于原行列式乘以 $c$。

    $$\det(cA) = c^n \det(A)$$

1.3 余子式 $M_{ij}$

余子式是从一个 $n \times n$矩阵中，删除某一行和某一列后得到的 $(n-1) \times (n-1)$矩阵的行列式。

定义：
对于一个矩阵 $A$的元素 $a_{ij}$，其对应的余子式 $M_{ij}$是指从矩阵 $A$中删除第 $i$行和第 $j$列后得到的子矩阵的行列式。

1.4 代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$

代数余子式是余子式的带符号版本，用于行列式的展开。具体来说，代数余子式 $A_{ij}$定义为：

$$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$
$$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}$$

注意：代数余子式 $A_{ij}$就是伴随矩阵 $A^*$的矩阵系数
$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}^T$$

1.5 具体型行列式计算（化为基本型）

1.5.1 主对角线行列式：主对角元素相乘

1.5.2 副对角线行列式：副对角元素相乘并判断正负号

1.5.3 拉普拉斯展开式

1.5.4 范德蒙德行列式：只看第二行，右减左，全都减，减完乘起来

1.5.5 加边法：没有明显的公共规律，自己补一个公共规律

1.5.6 递推法（适用于计算异爪型行列式）：高阶→低阶

建立两阶或三阶之间的关系，且每阶的元素分布规律必须相同

1.5.7 数学归纳法（适用于证明题）：低阶→高阶

• 第一数学归纳法（验证1个）：验证 $n=1$时成立，再假设 $n=k（k≥2）$时成立，最后证明 $n=k+1$时成立，由此推出对任意 $n$成立
• 第二数学归纳法（验证2个）：验证 $n=1，n=2$时成立，再假设 $n<k$时成立，最后证明 $n=k$时成立，由此推出对任意 $n$成立

用数学归纳法证爪型行列式通式：

1. $n=1$
2. $n=2$
3. 假设 $n<k$时成立
4. 当 $n=k$时，按第一列展开得通式形式
5. 得证

1.5.8 一些处理手段

1.6 抽象型行列式的计算： $a_{ij}$未给出

1.6.1 用行列式性质

1.6.2 用矩阵知识

1.6.3 用相似理论

2 矩阵

2.1 转置、逆、伴随的一些关系式

2.2 求 $A^n$

2.2.1 A为方阵，且r(A)=1

2.2.2 试算 $A^2$（或 $A^3$），找规律【归纳法→探索、研究精神！】

2.2.3 A=B+C用二项展开式

2.2.4 用相似理论

2.3 矩阵的伴随

求法

2.4 矩阵的逆

2.5 矩阵的转置

2.6 初等矩阵（左行右列）

2.7 分块矩阵

2.8 矩阵方程（含未知矩阵X）

2.9 矩阵方程求解

2.10 秩

矩阵的秩是其行秩和列秩的值，而行秩与列秩总是相等的。秩决定了矩阵的行向量或列向量的线性独立性，也影响了线性方程组的解的情况（如是否有解以及解的数量）

在两个向量组中，被表示的向量组的秩不大于表示它的向量组的秩。（即：两向量组中，被表示的向量组的秩不大）

2.11 行向量组等价（两方程组同解问题）

两个行向量组 等价，当且仅当它们能通过一系列初等行变换相互转换。

具体解释

• 如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 的行向量组等价，这意味着可以通过对 $A$ 进行有限次初等行变换，得到 $B$。反之亦然。换句话说， $A$ 和 $B$ 具有相同的行空间，它们的行向量可以通过相同的线性组合生成。

2.12 维数与向量的关系

1. 维数

   • 维数 指的是向量中元素的个数。在矩阵中，维数通常指的是向量所在空间的维度。例如，一个在 $\mathbb{R}^m$ 空间中的向量有 $m$ 个元素。
   • 对于一个线性方程组来说，维数 指的是系数矩阵的行数，也是方程的个数。

2. 向量个数

   • 向量个数 指的是列向量的个数，通常是系数矩阵的列数，也代表方程中未知数的个数。

3. 线性相关性

   • 如果矩阵的列数大于行数（向量个数 > 维数），则这些列向量必定线性相关。

假设有一个矩阵 $A$ 为 $3 \times 4$ 矩阵（ $3$ 行， $4$ 列）：

• 向量的维数是 $3$，因为每个列向量有 $3$ 个元素。
• 向量的个数是 $4$，因为矩阵有 $4$ 列。
• 因为 $4 > 3$，根据线性代数定理， $A$ 的列向量必定是线性相关的。

3 齐次线性方程组

4 非齐次线性方程组

5 公共解问题

6 同解问题

• 行向量组等价是两个方程组同解的充要条件。如果两个线性方程组的增广矩阵的行向量组是等价的（即通过初等行变换可以互相转换），那么这两个方程组一定有相同的解集。这是因为初等行变换不会改变线性方程组的解。
• 如果矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $PA = B$ 。这表明可以通过对 $A$ 进行初等行变换得到 $B$，而这些初等行变换可以表示为一个可逆矩阵 $P$ 作用在 $A$ 上。
• 一个行向量代表一个方程，行向量组的一次初等行变换相当于对方程组做了一次同解变形。由于初等行变换不会改变线性方程组的解集，所以两个增广矩阵行向量组等价，意味着它们对应的方程组有相同的解。
• 列向量的关系则与方程组是否有解密切相关。
• 若两个方程组互为线性组合，则两个方程组等价。等价的两个方程组一定同解，但同解的两个方程组不一定等价。

7 抽象型方程组

7.1 矩阵A各行元素之和均为0

7.2 方程组解的个数与秩的关系

7.3 选择题常考

7.4 证线性无关

7.5 证线性相关

要证线性相关，那么只需要证得有一个系数不为0就能使等式成立即可。

7.6 线性方程组的几何意义

$$\mathbf{有解情况}$$

几何意义	代数表达
三平面相交于一点（唯一解）	$$r(A)=r(\overline{A})=3$$法向量两两正交
三平面相交于一条线	$$r(A)=r(\overline{A})=2$$且 $β_1,β_2,β_3$两两线性无关（任何两面都不重合）
两平面重合，第三平面与之相交	$$r(A)=r(\overline{A})=2$$且 $β_1,β_2,β_3$中有两个向量线性相关（存在两个面重合）
三平面重合	$$r(A)=r(\overline{A})=1$$

如果三个平面的法向量两两正交，那么对应的线性方程组有唯一解；若此时引入第四个平面，当且仅当第四个平面与前三个平面相交于同一个点时，方程组有唯一解，除此之外无解。

$$\mathbf{无解情况}$$

几何意义	代数表达
三平面两两 $\mathbf{相交}$，且交线相互平行	$$r(A)=2，r(\overline{A})=3$$且 $n_1,n_2,n_3$两两线性无关（任何两个面都不相交）
两平面平行，第三张平面与它们 $\mathbf{相交}$	$$r(A)=2，r(\overline{A})=3$$且 $n_1,n_2,n_3$中有两个向量线性相关（存在两个面平行但不重合）
三张平面相互平行但不重合	$$r(A)=1，r(\overline{A})=2$$且 $β_1,β_2,β_3$两两线性无关（任何两个面都不重合）
两张平面重合，第三张平面与它们平行但不重合	$$r(A)=1，r(\overline{A})=2$$且 $β_1,β_2,β_3$中有两个向量线性相关（存在两个面重合）

7.7 线性表出

8 向量空间

8.1 向量空间中的坐标

题型1：要求一个非零向量 $\mathbf{b}$，使得它在两个不同基 $\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\}$ 和 $\{\mathbf{β}_1, \mathbf{β}_2, \mathbf{β}_3\}$ 下的坐标相同。设 $\mathbf{b}$ 在这两个基下的坐标为 $(x_1, x_2, x_3)$，即：
$$\mathbf{b} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3$$
$$\mathbf{b} = x_1\mathbf{β}_1 + x_2\mathbf{β}_2 + x_3\mathbf{β}_3$$
两式相减，得到
$$x_1(\mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1) + x_2(\mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2) + x_3(\mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3) = 0$$
为了满足上述等式，并且因为 $\mathbf{b}$ 是非零向量，所以 $x_1, x_2, x_3$ 至少有一个不为零。这表明 $\mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1$， $\mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2$， $\mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3$ 必须是线性相关的。
解齐次方程组
$$\begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1 & \mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2 & \mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

得解坐标 $x_1, x_2, x_3$，从而得到向量 $\mathbf{b}$：
$$\mathbf{b} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3$$

8.2 过渡矩阵

8.3 坐标变换

9 特征值特征向量

$$注意：方程组可以有零解，但特征向量决不能是零向量！$$
$$\boldsymbol{A^*}、\boldsymbol{A^k}(k≠-1)的特征向量不一定是\boldsymbol{A}的特征向量$$
$$\boldsymbol{A^{-1}}、\boldsymbol{kA}(k≠0)的特征向量一定是\boldsymbol{A}的特征向量$$

矩阵	特征值	对应特征向量
$$\boldsymbol{A}$$	$$\boldsymbol{λ}$$	$$\boldsymbol{α}$$
$$\boldsymbol{A^T}$$	$$\boldsymbol{λ}$$	$$\boldsymbol{重新计算}$$
$$\boldsymbol{将A对称化得到B=\frac{A+A^T}{2}}$$	$$\boldsymbol{重新计算}$$	$$\boldsymbol{重新计算}$$
$$\boldsymbol{kA}$$	$$\boldsymbol{kλ}$$	$$\boldsymbol{α}$$
$$\boldsymbol{A^k}$$	$$\boldsymbol{λ^k}$$	$$\boldsymbol{α}$$
$$\boldsymbol{f(A)}$$	$$\boldsymbol{f(λ)}$$	$$\boldsymbol{α}$$
$$\boldsymbol{A^{-1}}$$	$$\boldsymbol{\frac{1}{λ}}$$	$$\boldsymbol{α}$$
$$\boldsymbol{A^*}$$	$$\boldsymbol{\frac{|A|}{λ}}$$	$$\boldsymbol{α}$$
$$\boldsymbol{P^{-1}AP=B}$$	$$\boldsymbol{λ}$$	$$\boldsymbol{P^{-1}α}$$
$$\boldsymbol{P^{-1}f(A)P=f(B)}$$	$$\boldsymbol{f(λ)}$$	$$\boldsymbol{P^{-1}α}$$

9.1 施密特正交化

9.2 用特征值和特征向量求A

10 相似

10.1 相似的五个性质

10.2 相似的结论

10.3 相似对角化

11 实对称矩阵（必能相似对角化）

如果矩阵 $A$ 不是实对称矩阵，则不同特征值对应的特征向量不一定相互正交。

12 正交矩阵

13 二次型

13.1 惯性定理

13.2 配方法

13.3 正交变换法

13.3.1 常规计算

13.3.2 反求参数，A或（f）

13.3.3 最值问题

13.3.4 几何应用

二次曲面 $f=x^TAx=1$的类型

$$λ_1,λ_2,,λ_3的符号$$	$$f(x_1,x_2,x_3)=1$$
3正	椭球面
2正1负	单页双曲面
1正2负	双叶双曲面 $$f=0时为锥面$$
2正1零	椭圆柱面
1正1负1零	双曲柱面

14 合同

对于任意的 $n \times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，如果存在一个可逆矩阵 $C$ 使得：

$$C^TAC = B$$

则称矩阵 $A$ 和 $B$ 是合同矩阵，并且这个变换叫做合同变换。

变换特点

1. 行列同步：合同变换中的行变换和列变换可同步进行。

2. 不改变矩阵的秩：合同变换保持矩阵的秩。

3. 二次型化简：合同变换常用于二次型的化简，使得原矩阵的结构得到简化，同时保持二次型的性质。

14.1 实对称矩阵的合同

两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 如果是合同的，即存在一个可逆矩阵 $C$ 使得 $C^TAC = B$，那么它们的惯性指数（正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数的个数）必须相同。

15 正定二次型（正定矩阵）

正定矩阵：

• 定义：正定矩阵是一个对称矩阵，并且对于任意非零向量 $\mathbf{x}$，有 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$。
• 性质：正定矩阵的特征值都是正数，通常用于优化问题，表示能量最小化等场景。能量最小化通常与目标函数的最小化相关联。比如在机器学习中的损失函数或在经济学中的成本函数，这些函数的最小值往往代表最佳解。正定矩阵在这种场景中非常重要，因为它对应的二次型函数如果是正定的，那么优化问题的目标函数就有一个唯一的最小值。这个最小值就是能量最小化的解。

二次型矩阵：

• 定义：二次型矩阵是描述二次型函数的对称矩阵，形式为 $f= \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 是对称矩阵。
• 性质：二次型矩阵可以是正定的、半正定的、负定的或不定的，具体取决于函数 $f$ 的符号情况。

两者的区别：

• 范围不同：正定矩阵是特定类型的二次型矩阵，即二次型矩阵中的一种特殊情况。
• 判别标准：正定矩阵要求对于所有非零向量 $\mathbf{x}$， $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 必须大于零；而二次型矩阵可以根据其对应二次型的符号不同，具有不同的性质。

16 反对称矩阵

反对称矩阵（也称为斜对称矩阵）是一类特殊的矩阵，其定义是矩阵的转置等于其负矩阵，即对于矩阵 ( A ) 来说，反对称条件为：

$$A^T = -A$$

具体来说，矩阵中的元素满足：
$$a_{ij} = -a_{ji}$$
这意味着矩阵的对角线元素必须为零（即 $a_{ii} = 0$），因为 $a_{ii} = -a_{ii}$，这只有在 $a_{ii} = 0$ 时成立。例如：一个 $3×3$ 的反对称矩阵为：
$$A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \end{pmatrix}$$

反对称矩阵的性质：

1. 对角线元素为零：反对称矩阵的对角线元素必须为零。
2. 特征值性质：反对称矩阵的特征值要么是零，要么是纯虚数（对于实数反对称矩阵）。
3. 奇数维度的行列式为零：如果反对称矩阵的维度是奇数，那么其行列式为零。这是因为反对称矩阵在奇数维度下的非零特征值成对出现，每对特征值互为相反数，导致行列式为零。