内积
定义
自己乘自己肯定大于0
由于对称，第二变元线性那第一变元也线性了。例如这个：
这个内积就是数量积，|A||B|coso的那个，力的做功也是这么算的。
复内积与西空间
共轭啥意思来着？实数相等，虚数相反的。
因此这个复内积其实是有点难搞的，右边的可以直接拆，左边的还要把那个系数共轭了。不过向量本身似乎都不需要变。
当我刚刚没说。左边这个向量在乘的时候本来就是要共轭以下的，怪不得系数也要共轭。
Rn上面的内积比较简单，Cn上面的内积要考虑的就多了，左边的向量还要共轭。
本来就要转置，这下还要共轭，干脆简写成一个符号H。
Gram矩阵，度量矩阵
和之前的实数的Gram矩阵是一个道理，就是左边的系数要共轭一下。
在计算结果上相当于把向量组加起来做内积，和之前是一样的道理。不过要注意！Gram矩阵的结果不等于内积的结果，Gram矩阵只是把各个向量的内积记录了下来，真要求内积还要乘上旁边的系数呢。（就是那个KT和L）就算系数全是一，最后的结果也是不一样的，这个可以自己算一下。
基的度量矩阵：
可以看到，假如是正交基的话，内积一下得到的矩阵只有对角线上都是1，其余的都是0，是一个单位阵。左右乘上全是1的向量（代表系数）就可以得到n，也就是把基向量全加起来乘最后得到的内积，再次体现了Gram矩阵与内积之间的联系，只是这里只关注核心——也就是Gram矩阵。我们谈论向量组之间的交互的Gram矩阵，就是只管中间这个向量，不是真的要把内积求出来。假如哪天要求内积了，直接把系数写到这个矩阵两边，直接得出结果。
当向量组是基的时候，这个Gram矩阵就有了更高级的名字：度量矩阵。
任何一个向量都只是基生成的罢了。只要把坐标作为向量乘到度量矩阵两边，就相当于带系数的向量组求内积，就可以直接得出这两个向量的内积。
注意：我们谈论“某个向量组的Gram矩阵”全都是自己乘自己的。下面提到的性质也都是建立在自己乘自己之上的。
坐标（也就是基向量的系数）也有可能是有复数的，记得左边的要共轭。
Gram矩阵的性质
（1）：把G给转置了，还每一个元素都共轭了，结果和原来的一样。毕竟在G里面，对称的两个元素刚好是<ai,aj>与<aj,ai>，这两除了要共轭的那个向量不一样以外都一样。
内积空间的度量
这些结论和和实向量其实是一样的。
第四，第五条其实就是三角形里面那个结论。在实内积里面所有结论都非常友好。
但是注意！在复内积里面，正交不等于夹角为直角，只能说内积为0！说起来向量夹角那个地方只是针对实向量的，复向量可能压根没有这个说法。满足勾股定理也不代表正交，当然也不代表内积为0.
满足勾股定理，只要a*b和b*a正好能抵消就行，因此复内积中的勾股定理，纯度大大降低了。
正交投影与正交逼近
相当于找到那个与b距离最短的向量。
这个G是啥意思？
就是之前求Gram矩阵的那个符号
也就是说，这个k就等于V空间基的度量矩阵的逆矩阵乘以这个基与我们要求投影的向量的Gram矩阵（这是一个有s行但是只有1列的矩阵）
可以用简单的思想理解一下。假如V空间只有一个基a，上面这个式子相当于让a,b相乘然后除掉a的长度，得到的自然是b对应的那个投影长度乘以a的单位向量（确定了大小与方向）
上面的式子只是原本的公式换了个写法，就是把原本的求内积写成了矩阵相乘的形式。虽然乍一看A好像全抵掉了，但要注意A不是方阵没有逆矩阵，因此不能化简。当然我们也可以发现，假如A是一个方阵的话，那其实就是表示整个空间的基，这样的话投影就是b自己，自然投影矩阵就是单位阵了。
举个例子
y和x之间一一对应，y等于x的多项式。
怎么把他转化成正交投影问题呢？
标准正交基与西矩阵
标准正交基是个啥
形象的讲，如果是标准正交组的话，系数其实就是投影长度。
经典复刻之斯密特正交方法：
举个例子
可以看到西矩阵其实就是属于复数的正交矩阵