什么是二叉排序树
二叉搜索树又是二叉排序树，当我们的是一颗空树或者具有以下性质时：
- 左子树不为空，左子树上的值都小于我们的根节点上的值。
- 右子树不为空时，右子树上的值都大于我们的根节点上的值
- 左右子树都是二叉搜索树（二叉排序树）。
我们的二叉搜索树可以支持插入想同的值，也可以不支持，这分情况的。我们的set和map是 不支持我们的插入相同的值的，但是我们的multiset和multimap 是支持可以插入相同的值的。 他们的底层是二叉搜索树
二叉搜索树：
性能分析
我们的单独的二叉树，不具有某些性质的话，是没有很大的意义的，因为他的结构比较复杂。
而我们的二叉搜索树，左边是比根小的，右边是比根大的。当我们去中序遍历的时候，就可以是有序的。
- 最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：O(log2 N)、
- 最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：O(log2 N )
- 所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
我们的二叉搜索树很受我们的插入的顺序影响，当那个我们的插入顺序不一样，我们的二叉搜索树的结构也是不一样的。
这个明显是不能满足的我们的需求的，而平衡⼆ 叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
我们的二分查找也可以实现我们的logN级别的查找效率，但是它是由条件的，
- 他必须是在有序的情况下
- 其次他要满足 随机访问，如果你所使用的容器不支持随机访问，是不可以使用我们的二分查找的
当我们的二叉搜索树的值都在一段时就会严重影响我们的搜索效率。如果我们是使用递归可能会导致栈溢出的分险。
二叉搜索树的实现
我们的每一个节点我们可以用一个类来分装一下，
我们的二叉搜索树，这个类里面用另一个类来封装起来，里面的成员变量就是我们的根节点。
用模板的话 可以让我们存的数据类型多样。
//节点
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
// Binary Search Tree
// Key
template<class K>
class BSTree
{
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K>;
private:
Node* _root = nullptr;
};
插入
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针、
- 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。
- 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛。
例子：当我们么插入这个数组里面的元素时： int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};
我们直接利用循环来处理，当时我们再走的时候，找到空节点的时候，还需要我们知道我们的父亲节点在哪。这样我们才能连接起来。，
代码：
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}删除（难点）
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。 如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩⼦均为空
- 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案：
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
- ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
代码：
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 删除
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
// 右为空
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 左右都不为空
// 右子树最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
else
replaceParent->_right = replace->_right;
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
虽然我们在找替换的节点的时候一直在往一边走，但是我们人就要后面的判断
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
else
replaceParent->_right = replace->_right;
因为有一种情况是不满足的需要我们去进行判断；而且我们的replaceParent也不能再初始化的时候给nullptr,
查找
- 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
- 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
- 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回
代码：
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
赋值拷贝
我们的这里的拷贝也是要进行深拷贝的。
代码：
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
private：
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}析构
我们对于内置类型的，的确是不需要我们去写析构，但是我们这里是一个模板，里面存放的数据类型不止有我们的内置类型的，也会有我们的自定义类型，而且我们这里节点的空间都是动态申请的。
我们通过自己写一个Destory的函数去帮助我们释放空间，因为我们释放空间，也需要我们去利用递归，并需要访问我们的root，在类外不能访问我们的root，所以不好传参数，在要我们的析构去调用。
代码：
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
private:
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}中序遍历
对于我们的中序遍历我们不能在类外访问我们的root，所以需要我们去写一个已经在类内实现的中序遍历_Inorder，我们再用Inorder里面调用这个函数，利用我们的封装的思想，我们的中序遍历可以实现有序。
代码：
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << endl;
_InOrder(root->_right);
}
完整的实现代码
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
// Binary Search Tree
// Key
template<class K>
class BSTree
{
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K>;
public:
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 删除
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
// 右为空
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 左右都不为空
// 右子树最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
else
replaceParent->_right = replace->_right;
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
key搜索场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结 构了。也就是在不在的问题。
- 场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的 ⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆ 法进⼊。
- 场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单 词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。
key/value搜索场景：
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查 找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修 改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
- 场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
- 场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查 找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
- 场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次 出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
我们的额key的情况和key、value的代码基本一样。
代码：
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
BSTNode(const K& key, const V& value)
:_key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
// Binary Search Tree
// Key/value
template<class K, class V>
class BSTree
{
//typedef BSTNode<K> Node;
using Node = BSTNode<K, V>;
public:
// 强制生成构造
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree& operator=(BSTree tmp)
{
swap(_root, tmp._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 删除
// 左为空
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
// 右为空
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 左右都不为空
// 右子树最左节点
Node* replaceParent = cur;
Node* replace = cur->_right;
while (replace->_left)
{
replaceParent = replace;
replace = replace->_left;
}
cur->_key = replace->_key;
if (replaceParent->_left == replace)
replaceParent->_left = replace->_right;
else
replaceParent->_right = replace->_right;
delete replace;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};