量化交易理论：凯利公式和仓位管理

量化交易理论：凯利公式和仓位管理

一、凯利公式的介绍

• 基本概念

​ 凯利公式（Kelly formula）, 也被称为凯利准则 (Kelly criterion), 是一个在概率论和统计学领域用于在具有一定概率分布的重复博弈或投资情境下, 确定最优投注或投资比例的数学公式。

​ 其数学表达式为
$$f=\frac{bp-q}{b}=\frac{p\times (b+1)-1}{b}$$

$f$ 表示投注（投资）资金占总资金的比例（仓位）；
$p$ 表示每次博弈（投资决策）获胜的概率；

$q$ 为失败的概率，即 $1-p$ ；

$b$ 表示净赔率, 即盈利与亏损的比率 (如果盈利为 $A$ , 亏损为 $B$ , 则 $b=\frac{A}{B}$ )。

• 由来

​ 凯利公式由约翰・拉里・凯利（John Larry Kelly）于 1956 年在《贝尔系统技术期刊（Bell System Technical Journal）》中提出。凯利是一名在贝尔实验室（Bell Labs）工作的科学家，他的研究主要是在信息论方面。在研究信息在有噪声干扰的信道中传输时如何最大化信息传输率的问题时，凯利发现了这个与概率、收益相关的公式。

​ 凯利的研究受到克劳德・香农（Claude Shannon）信息理论的启发。香农在信息论方面的工作为凯利提供了理论基础。在信息传输过程中，就如同在投资中面临不确定性一样，需要找到一种最优的策略来平衡风险和收益。凯利将这种思想应用到投资和赌博（具有不确定性结果的情境）中，进而推导出了这个公式。

二、利用凯利公式进行仓位管理

​ 凯利公式为投资者提供了一种理论上的最优仓位计算方法。它综合考虑了投资成功的概率和潜在的收益 - 风险比。

​ 在投资实践中, 通过对历史数据的分析、基本面的研究或者技术分析等手段来估计获胜概率 $p$ 以及净赔率 $b$ , 然后根据凯利公式计算出的 $f$ 来确定仓位大小。

​ 例如, 在股票投资中,如果经过分析认为某只股票上涨（获胜）的概率 $p=0.6$ , 预期上涨时盈利与下跌时亏损的比率 $b=2$ ，则根据凯利公式
$$f=\frac{0.6\times (2+1)-1}{2}=\frac{0.6\times 3-1}{2}=\frac{1.8-1}{2}=0.4$$
即理论上应将仓位设置为总资金的 $40\%$，获利最大。

凯利公式在控制风险和提高收益方面的意义

• 风险控制方面

  凯利公式避免了过度投资。如果不考虑获胜概率和赔率而盲目重仓投资，一旦判断失误将面临巨大损失。例如，若投资者在没有依据的情况下将仓位设置为 90%，当市场走势与预期相反时，由于可用于后续操作的资金很少，很难调整策略挽回损失。而按照凯利公式计算出的仓位进行投资，即使出现亏损，也能保留一定比例的资金用于后续投资，有机会在后续的交易中弥补损失。

• 收益最大化方面

  从长期来看，凯利公式旨在使资金增长速率最大化。通过合理的仓位管理，使投资组合在不同的市场环境下都能以一种相对稳定且最优的方式增长。如果仓位过低，虽然风险较小，但可能无法充分利用有利的投资机会获取高额收益；如果仓位过高，虽然可能在盈利时获得高额回报，但承担的风险过大，容易在不利情况下遭受重创。凯利公式计算出的仓位试图在风险和收益之间找到一个平衡点，以实现长期的资金增长最大化。

三、凯利公式的局限性

参数估计的不确定性

​ 在实际应用中，准确估计获胜概率和净赔率是非常困难的。市场是复杂多变的，历史数据不能完全代表未来情况，基本面因素和突发的宏观事件等都会影响投资结果。例如，对于一只股票，基于过去的业绩和市场环境估计其上涨概率为 0.7，但可能由于突然的行业政策调整，实际上涨概率远低于这个估计值，这就会导致按照凯利公式计算出的仓位并非最优。

不适用于极端市场情况

​ 凯利公式假设市场是相对稳定且符合一定概率分布的，但在极端市场情况（如金融危机、突发重大灾难等）下，市场的表现可能完全脱离正常的概率模型。例如，在 2008 年金融危机时，很多金融资产价格暴跌，市场的恐慌情绪导致各类资产之间的相关性发生巨大变化，传统的获胜概率和赔率估计完全失效，此时凯利公式计算出的仓位可能无法适应这种极端情况，按照该仓位操作可能会遭受巨大损失。