【算法题】62. 不同路径(LeetCode)

【算法题】62. 不同路径(LeetCode)

1.题目

下方是力扣官方题目的地址

62. 不同路径

• 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

  机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

  问总共有多少条不同的路径？

  示例 1：

  

  输入：m = 3, n = 7
  输出：28
  

  示例 2：

  输入：m = 3, n = 2
  输出：3
  解释：
  从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
  1. 向右 -> 向下 -> 向下
  2. 向下 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向下
  

  示例 3：

  输入：m = 7, n = 3
  输出：28
  

  示例 4：

  输入：m = 3, n = 3
  输出：6
  

  提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

2.题解

思路一(公式)

机器人无论怎么走到终点，向下向右的步数是固定的，都是向右n-1格，向下m-1格。

所以我们可以使用组合数，一共走m+n-2次，再其中选出m-1次向下走，其余的自然就是向右走了，所以有：

所以有
$$C(m+n-2,m-1)$$
如何计算它呢？

$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

所以有：

Python代码

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        from math import factorial
        return factorial(m+n-2)//(factorial(m-1)*factorial(n-1))

思路二(深度优先)

我们有深度优先搜索模拟所有情况，然后来个计数器计数

Python代码

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        global ans
        ans=0
        def dfs(d,x,y):             # d 为深度
            global ans
            if d==(m+n-2):
                ans+=1
                return
            direc=[[1,0],[0,1]]     # 向下或者向右
            for dx,dy in direc:
                if 0<=x+dx<m and 0<=y+dy<n:
                    dfs(d+1,x+dx,y+dy)
        dfs(0,0,0)
        return ans

这种思路好想到，不过显然超时了

思路三(动态规划)

我们用dp[i][j]表示到达位置(i,j)时的总路径数。

很显然，当i=0或者j=0时，总路径数都是1

先把这些情况预处理了

其他情况遵循状态转移方程：

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]

即当前位置的总数是它上方和左方总数之和

Python代码

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp=[[0]*n for _ in range(m)]    # 初始化dp数组
        for i in range(n):
            dp[0][i]=1                  # 预处理
        for i in range(m):
            dp[i][0]=1
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
        return dp[-1][-1]

3.结语

本人资历尚浅，发博客主要是记录与学习，欢迎大佬们批评指教！大家也可以在评论区多多交流，相互学习，共同成长。