考试要求
1、理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一菜布尼茨公式.
5、了解反常积分的概念，会计算反常积分.
6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.
反常积分及其计算
反常积分
无穷区间上的反常积分 设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , ∞ ) [a,\infty) [a,∞)上连续，称为 ∫ a ∞ f ( x ) d x = lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x \int_a^{\infty}f(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\int_a^bf(x)dx ∫a∞f(x)dx=b→+∞lim∫abf(x)dx为 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , + ∞ ) [a,+\infty) [a,+∞)上的反常积分。若右边极限存在，称此反常积分收敛；若该极限不存在，称此极限不存在，称此反常积分发散。
类似地可以定义： ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x \int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{a \to -\infty}\int_a^bf(x)dx ∫−∞bf(x)dx=a→−∞lim∫abf(x)dx及 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ c f ( x ) d x + ∫ c + ∞ f ( x ) d x ( 其中 c ∈ ( − ∞ , + ∞ ) ) \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_c^{+\infty}f(x)dx(其中c\in (-\infty,+\infty)) ∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞cf(x)dx+∫c+∞f(x)dx(其中c∈(−∞,+∞))
上式子中，只要右边两个反常积分至少有一个不存在，就说反常积分 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞f(x)dx发散。
无界函数的反常积分 设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ) [a,b) [a,b) 上连续，且 lim x → b − f ( x ) = ∞ \lim_{x\to b^-}f(x)=\infty limx→b−f(x)=∞，称 ∫ a b f ( x ) d x = lim t → b − ∫ a t f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx=\lim_{t \to b^-}\int_a^t f(x)dx ∫abf(x)dx=t→b−lim∫atf(x)dx为区间 [ a , b ) [a,b) [a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，若左边积分存在，则称此反常积分收敛；若极限不存在，则称此反常积分发散，使 f ( x ) → ∞ f(x) \to \infty f(x)→∞点 b b b称为 f ( x ) f(x) f(x)的奇点(也称瑕点)
若点 a a a为 f ( x ) f(x) f(x)的奇点，则可以定义为： ∫ a b f ( x ) d x = lim t → a + ∫ t b f ( x ) d x \int_a^b f(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^b f(x)dx ∫abf(x)dx=t→a+lim∫tbf(x)dx
若点 a 与 b a与b a与b都是奇点，则可以分成： ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x ( 其中 c ∈ ( a , b ) ) \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_c^{b}f(x)dx(其中c\in (a,b)) ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(其中c∈(a,b))
上式子中，只要右边两个反常积分至少有一个不存在，就说反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx ∫abf(x)dx发散。
若在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内部点 c c c为奇点，则反常积分定义为：
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x ( 其中 c ∈ ( a , b ) ) \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_c^{b}f(x)dx(其中c\in (a,b)) ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(其中c∈(a,b))
上式子中，只要右边两个反常积分至少有一个不存在，就说反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx ∫abf(x)dx发散。
练习1：下列结论中正确的是：
A 、 ∫ 1 + ∞ 1 x ( x + 1 ) d x 与 ∫ 0 1 1 x ( x + 1 ) d x 均收敛 B 、 ∫ 1 + ∞ 1 x ( x + 1 ) d x 与 ∫ 0 1 1 x ( x + 1 ) d x 均发散 C 、 ∫ 1 + ∞ 1 x ( x + 1 ) d x 发散， ∫ 0 1 1 x ( x + 1 ) d x 收敛 D 、 ∫ 1 + ∞ 1 x ( x + 1 ) d x 收敛， ∫ 0 1 1 x ( x + 1 ) d x 发散 A、\int_1^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)}dx与\int_0^1\frac{1}{x(x+1)}dx均收敛 \quad \quad\quad B、\int_1^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)}dx与\int_0^1\frac{1}{x(x+1)}dx均发散 \\ \quad \\ C、\int_1^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)}dx发散，\int_0^1\frac{1}{x(x+1)}dx收敛 \quad \quad D、\int_1^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)}dx收敛，\int_0^1\frac{1}{x(x+1)}dx发散 A、∫1+∞x(x+1)1dx与∫01x(x+1)1dx均收敛B、∫1+∞x(x+1)1dx与∫01x(x+1)1dx均发散C、∫1+∞x(x+1)1dx发散，∫01x(x+1)1dx收敛D、∫1+∞x(x+1)1dx收敛，∫01x(x+1)1dx发散
知识点： lim ∫ f ( x ) \lim \int f(x) lim∫f(x)极限存在收敛，极限不存在发散
解: 令 f ( x ) = 1 x ( x + 1 ) ∫ 1 x ( x + 1 ) d x = ln x − ln ( x + 1 ) + C = ln x x + 1 + C lim x → + ∞ ln x x + 1 = 0 ⇒ ∫ 1 + ∞ 1 x ( x + 1 ) d x 收敛 lim x → 0 + ln x x + 1 = + ∞ ⇒ ∫ 0 1 1 x ( x + 1 ) d x 发散 故选： D 令f(x)=\frac{1}{x(x+1)} \\ \quad \\ \int \frac{1}{x(x+1)}dx=\ln x-\ln (x+1)+C=\ln \frac{x}{x+1}+C \\ \quad \\ \lim_{x\to +\infty}\ln \frac{x}{x+1}=0\Rightarrow \int_1^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)}dx收敛 \\ \quad \\ \lim_{x\to 0^+}\ln \frac{x}{x+1}=+\infty\Rightarrow \int_0^1\frac{1}{x(x+1)}dx发散\\ \quad \\ 故选：D 令f(x)=x(x+1)1∫x(x+1)1dx=lnx−ln(x+1)+C=lnx+1x+Cx→+∞limlnx+1x=0⇒∫1+∞x(x+1)1dx收敛x→0+limlnx+1x=+∞⇒∫01x(x+1)1dx发散故选：D
练习2：求 ∫ 1 + ∞ arctan x x 2 d x \int_1^{+\infty}\frac{\arctan x}{x^2}dx ∫1+∞x2arctanxdx
知识点：分部积分、凑微分
解： ∫ arctan x x 2 d x = ∫ arctan x d ( − 1 x ) = − 1 x arctan x + ∫ 1 x ( 1 + x 2 ) d x = − 1 x arctan x + ∫ 1 x − x ( 1 + x 2 ) d x = − 1 x arctan x + ln x − ln ( 1 + x 2 ) 2 + C ( − 1 x arctan x + ln ( 1 − 1 1 + x 2 ) 2 + C ) ∣ 1 + ∞ = 0 + arctan 1 + 1 2 ln 2 = π 4 + 1 2 ln 2 \int\frac{\arctan x}{x^2}dx=\int \arctan xd(-\frac{1}{x})=-\frac{1}{x}\arctan x+\int \frac{1}{x(1+x^2)}dx \\ \quad \\= -\frac{1}{x}\arctan x+\int \frac{1}{x}-\frac{x}{(1+x^2)}dx\\ \quad \\= -\frac{1}{x}\arctan x+\ln x-\frac{\ln(1+x^2)}{2} +C \\ \quad \\ (-\frac{1}{x}\arctan x+\frac{\ln(1-\frac{1}{1+x^2})}{2} +C)|_1^{+\infty}\\ \quad \\ =0+\arctan 1+\frac{1}{2}\ln2 \\ \quad \\ =\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\ln2 ∫x2arctanxdx=∫arctanxd(−x1)=−x1arctanx+∫x(1+x2)1dx=−x1arctanx+∫x1−(1+x2)xdx=−x1arctanx+lnx−2ln(1+x2)+C(−x1arctanx+2ln(1−1+x21)+C)∣1+∞=0+arctan1+21ln2=4π+21ln2
练习3： ∫ 0 1 ( ln x ) 2 d x \int_0^1(\ln x)^2dx ∫01(lnx)2dx
知识点：分部积分
解： ∫ ( ln x ) 2 d x = x ( ln x ) 2 − ∫ x ⋅ 2 ln x ⋅ 1 x d x = x ( ln x ) 2 − 2 [ x ln x − x ] + C = [ x ( ln x ) 2 − 2 x ln x + 2 x + C ] ∫ 0 1 ( ln x ) 2 d x = lim t → 0 + [ x ( ln x ) 2 − 2 x ln x + 2 x + C ] ∣ t 1 = 2 + C − 0 − C = 2 \int(\ln x)^2dx=x(\ln x)^2-\int x\cdot2\ln x\cdot\frac{1}{x}dx \\ \quad \\ =x(\ln x)^2-2[x\ln x -x]+C \\ \quad \\ =[x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C] \\\int_0^1(\ln x)^2dx=\lim_{t\to 0^+}[x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C]|_t^1\\ \quad \\ =2+C-0-C=2 ∫(lnx)2dx=x(lnx)2−∫x⋅2lnx⋅x1dx=x(lnx)2−2[xlnx−x]+C=[x(lnx)2−2xlnx+2x+C]∫01(lnx)2dx=t→0+lim[x(lnx)2−2xlnx+2x+C]∣t1=2+C−0−C=2
对称区间上奇、偶函数的反常积分
1、设 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上连续，且为奇函数，又设 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty}f(x)dx ∫0+∞f(x)dx收敛，则 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 0 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=0 ∫−∞+∞f(x)dx=0
2、设 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上连续，且为偶函数，又设 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty}f(x)dx ∫0+∞f(x)dx收敛，则 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 2 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=2\int_0^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞f(x)dx=2∫0+∞f(x)dx
3、设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − a , a ] [-a,a] [−a,a]上除 ± c \pm c ±c外均连续， x = ± c x=\pm c x=±c为 f ( x ) f(x) f(x)的奇点， 0 ≤ c ≤ a 0\le c \le a 0≤c≤a,且为奇函数，且 ∫ 0 a f ( x ) d x \int_0^af(x)dx ∫0af(x)dx收敛，则 ∫ − a a f ( x ) d x = 0 \int_{-a}^{a}f(x)dx=0 ∫−aaf(x)dx=0
4、设 f ( x ) f(x) f(x)在 [ − a , a ] [-a,a] [−a,a]上除 ± c \pm c ±c外均连续， x = ± c x=\pm c x=±c为 f ( x ) f(x) f(x)的奇点， 0 ≤ c ≤ a 0\le c \le a 0≤c≤a,且为偶函数，且 ∫ 0 a f ( x ) d x \int_0^af(x)dx ∫0af(x)dx收敛，则 ∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx
5、一个重要的反常积分: ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=2\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞+∞e−x2dx=2∫0+∞e−x2dx=π
练习1：下列积分其结论不正确的是：
A 、 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 x 2 d x = π 2 B 、 i n t − 1 1 sin 2 x x = 0 C 、 ∫ − ∞ + ∞ x 1 + x 2 d x = 0 D 、 ∫ − ∞ + ∞ x ( 1 + x 2 ) 2 d x = 0 A、\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}x^2dx=\frac{\pi}{2} \quad \quad B、int_{-1}^1\frac{\sin^2 x}{x}=0 \\ \quad \\C、\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx=0 \quad \quad D、\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{(1+x^2)^2} dx=0 A、∫−∞+∞e−x2x2dx=2πB、int−11xsin2x=0C、∫−∞+∞1+x2xdx=0D、∫−∞+∞(1+x2)2xdx=0
解A： 求 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 x 2 d x 值 ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 x 2 d x 可知 e − x 2 x 2 在 ( − ∞ , + ∞ ) 连续 ∫ e − x 2 x 2 d x = − 1 2 ∫ x d ( e − x 2 ) = − 1 2 [ x . e − x 2 − ∫ e − x 2 d x ] ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 x 2 d x = − 1 2 [ x . e − x 2 ∣ − ∞ + ∞ − ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x ] = 0 + π 2 ( x . e − x 2 为奇函数，在区间对称，值为 0 ) 求\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}x^2dx值 \\ \quad \\ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}x^2dx可知e^{-x^2}x^2在(-\infty,+\infty)连续\\ \quad \\ \int e^{-x^2}x^2dx =-\frac{1}{2}\int xd(e^{-x^2})=-\frac{1}{2}[x.e^{-x^2}-\int e^{-x^2}dx]\\ \quad \\ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}x^2dx=-\frac{1}{2}[x.e^{-x^2}|_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx] \\ \quad \\ =0+\frac{\sqrt{\pi}}{2}(x.e^{-x^2}为奇函数，在区间对称，值为0) 求∫−∞+∞e−x2x2dx值∫−∞+∞e−x2x2dx可知e−x2x2在(−∞,+∞)连续∫e−x2x2dx=−21∫xd(e−x2)=−21[x.e−x2−∫e−x2dx]∫−∞+∞e−x2x2dx=−21[x.e−x2∣−∞+∞−∫−∞+∞e−x2dx]=0+2π(x.e−x2为奇函数，在区间对称，值为0)
解B： 知识点：连续 ⇐ 可导 ⇔ 可微 ⇒ 连续 ∫ − 1 1 sin x 2 x d x 令 f ( x ) = sin x 2 x 由在 [ − 1 , 1 ] 处连续，可知 f ( x = 0 ) = 0 可知 f ( x ) 不是反常积分 由于 f ( x ) 为奇函数，故 ∫ − 1 1 f ( x ) = 0 知识点：连续\Leftarrow可导\Leftrightarrow 可微\Rightarrow连续 \\ \quad \\ \int_{-1}^1\frac{\sin x^2}{x}dx\\ \quad \\ 令f(x)=\frac{\sin x^2}{x}由在[-1,1]处连续，可知f(x=0)=0 \\ \quad \\ 可知f(x)不是反常积分 \\ \quad \\ 由于f(x)为奇函数，故\int_{-1}^1f(x)=0 知识点：连续⇐可导⇔可微⇒连续∫−11xsinx2dx令f(x)=xsinx2由在[−1,1]处连续，可知f(x=0)=0可知f(x)不是反常积分由于f(x)为奇函数，故∫−11f(x)=0
解C: ∫ − ∞ + ∞ x 1 + x 2 d x 令 f ( x ) = x 1 + x 2 由 f ( x ) 在 ( − ∞ , + ∞ ) 连续且为奇函数 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x = lim u → + ∞ ( 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C ) ∣ 0 u = + ∞ + 0 ⇒ 发散 ∫ − ∞ + ∞ x 1 + x 2 d x ≠ 0 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx \\ \quad \\ 令f(x)=\frac{x}{1+x^2}由f(x)在(-\infty,+\infty)连续且为奇函数 \\ \quad \\ \int_0^{+\infty}f(x)dx=\lim_{u \to +\infty}(\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C)|_0^u \\ \quad \\ =+\infty+0\Rightarrow 发散 \\ \quad \\ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{1+x^2}dx \ne 0 ∫−∞+∞1+x2xdx令f(x)=1+x2x由f(x)在(−∞,+∞)连续且为奇函数∫0+∞f(x)dx=u→+∞lim(21ln(x2+1)+C)∣0u=+∞+0⇒发散∫−∞+∞1+x2xdx=0
解D: ∫ − ∞ + ∞ x ( 1 + x 2 ) 2 d x 令 f ( x ) = x ( 1 + x 2 ) 2 ，可知 f ( x ) 在 ( − ∞ , + ∞ ) 连续且为奇函数 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x = lim u → + ∞ − 1 2 + 2 x 2 ∣ 0 u = 0 + 1 2 ⇒ 收敛 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) = 0 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{(1+x^2)^2} dx \\ \quad \\ 令f(x)=\frac{x}{(1+x^2)^2}，可知f(x)在(-\infty,+\infty)连续且为奇函数 \\ \quad \\ \int_0^{+\infty}f(x)dx=\lim_{u\to+\infty }\frac{-1}{2+2x^2}|_0^u\\ \quad \\ =0+\frac{1}{2}\Rightarrow 收敛 \\ \quad \\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)=0 ∫−∞+∞(1+x2)2xdx令f(x)=(1+x2)2x，可知f(x)在(−∞,+∞)连续且为奇函数∫0+∞f(x)dx=u→+∞lim2+2x2−1∣0u=0+21⇒收敛∫−∞+∞f(x)=0