【LeetCode刷题之路】120：三角形最小路径和的两种解法（动态规划优化）

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题目链接：120. 三角形最小路径和

题目描述：

给定一个三角形triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标i，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

如图所示：
例子：
[[20],[30,40],[60,50,70],[40,10,80,30]]

思路1：从上开始dp

分析：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.empty())    return 0;
        int row = triangle.size();
        vector<vector<int>> dp(row);
        for(size_t i =0;i<row;++i)
        {
            dp[i].resize(triangle[i].size(),0);
        }
        //初始化
        dp[0][0] = triangle[0][0];
        //状态转移
        for(size_t i = 1;i<row;++i)
        {
            for(size_t j = 0;j<=i;++j)
            {
                if(j==0) 
                    dp[i][j]=dp[i-1][j] + triangle[i][j];
                else if(j==i) 
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+triangle[i][j];
                else
                {
                    dp[i][j] = min( dp[i-1][j-1], dp[i-1][j] ) + triangle[i][j];
                }
            }
        }
        
        //最后一行
        int min_s = dp[row-1][0];
        for(size_t i = 1;i < dp[row-1].size();++i)
        {
            min_s = min(dp[row-1][i],min_s);
        }
        return min_s;
    }
};

思路2：从下向上dp，优化空间复杂度

思路1的时间复杂度为O(n^2)，显然空间复杂度过高了，可以优化为O(n)，思想如下：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.empty())    return 0;
        int row = triangle.size();
        vector<int> dp(triangle[row-1].size());
        //初始化
        for(size_t i = 0;i<dp.size();++i)
        {
            dp[i] = triangle[row-1][i];
        }
        //状态转移
        for(int i = row-2;i>=0;--i)
        {
            for(int j = 0;j<triangle[i].size();++j)
            {
                dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j],dp[j+1]);
            }
        }
        //最后一行
        return dp[0];
    }
};