【C++】等差数列末项计算题解析及优化

💯前言

• 等差数列是数学领域中极为重要的一类数列，其核心特征是任意相邻两项的差值保持不变。这一特性使得等差数列在代数与数论研究中扮演着重要角色，同时广泛应用于数据建模、工程预测以及数值分析等实际场景。
  本题的目标是，在给定等差数列的前两项 $a_1,a_2$ 的基础上，计算该数列的第 $n$ 项。这一问题旨在测试解题者对等差数列公式的掌握、算法设计能力以及程序实现的准确性。
  C++ 参考手册
  

💯题目描述与输入输出要求

题目描述
本题要求计算等差数列的第 $n$ 项值。等差数列的定义如下：

• 任意相邻两项之间的差值为一个常量，称为公差 $d$。
• 数列的通项公式表达为：
  $$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$
  其中：
  • $a_n$ 表示数列的第 $n$ 项。
  • $a_1$ 表示数列的第一项。
  • $d$ 表示数列的公差。

输入格式
输入为一行，包含三个整数 $a_1,a_2,n$，满足以下条件：

• $-100\le a_1,a_2\le 100$
• $0<n\le 1000$

输出格式
程序输出一个整数，即数列的第 $n$ 项的值。

输入输出示例
示例 1
输入：

1 4 100

输出：

298

💯数学分析与公式推导

公差的计算

公差 $d$ 是等差数列的核心特性，由定义可得：
$$d=a_2-a_1$$
一旦确定了公差，便可以通过递推或通项公式计算出数列中的任意一项。

通项公式推导

将公差公式代入通项公式，我们得到：
$$a_n=a_1+(n-1)\cdot (a_2-a_1)$$
或者，从第二项 $a_2$ 出发，公式可以等价写为：
$$a_n=a_2+(n-2)\cdot (a_2-a_1)$$
这一形式为代码实现提供了更为灵活的选择。

💯示例解析

输入示例

1 4 100

解题步骤

1. 计算公差 $d$：
   $$d=a_2-a_1=4-1=3$$

2. 计算第 100 项 $a_{100}$：
   $$a_{100}=a_1+(100-1)\cdot d=1+99\cdot 3=1+297=298$$

3. 验证结果：

   • 通过代入公式验证，计算结果符合逻辑且准确。

输出结果

298

💯程序实现与解析

初版代码

以下代码直接采用公式实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a1, a2, n;
    cin >> a1 >> a2 >> n;
    cout << (a2 - a1) * (n - 2) + a2 << endl;
    return 0;
}

代码解析

1. 输入部分：

   • 从标准输入读取 $a_1,a_2,n$。

2. 计算部分：

   • 直接使用公式 $(a_2-a_1)\cdot (n-2)+a_2$。该公式等价于：
     $$a_n=a_2+(n-2)\cdot (a_2-a_1)$$

3. 输出部分：

   • 输出计算结果。

优点与不足

• 优点：
  • 简洁直接，适合处理一般情况。
• 不足：
  • 未显式处理特殊情况（如 $n==1$ 和 $n==2$），可能导致逻辑混乱。
  • 对初学者而言，公式的隐式逻辑不够直观。

改进实现：显式处理特殊情况

以下代码改进了特殊情况的处理：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a1, a2, n;
    cin >> a1 >> a2 >> n;

    if (n == 1)
        cout << a1 << endl;
    else if (n == 2)
        cout << a2 << endl;
    else
        cout << a2 + (n - 2) * (a2 - a1) << endl;

    return 0;
}

改进点分析

1. 特殊情况处理：

   • $n==1$ 时输出 $a_1$。
   • $n==2$ 时输出 $a_2$。

2. 一般情况处理：

   • 使用通项公式计算第 $n$ 项。

优点与不足

• 优点：
  • 逻辑更加清晰，适合扩展和调试。
• 不足：
  • 存在一定的重复代码。

💯代码优化与封装

为进一步提升代码的复用性与可维护性，我们可以将核心逻辑封装为函数：

封装代码

#include <iostream>
using namespace std;

// 计算等差数列的第 n 项
int calculateTerm(int a1, int a2, int n) {
    if (n == 1)
        return a1;
    else if (n == 2)
        return a2;
    else
        return a2 + (n - 2) * (a2 - a1);
}

int main() {
    int a1, a2, n;
    cin >> a1 >> a2 >> n;
    cout << calculateTerm(a1, a2, n) << endl;
    return 0;
}

优化点说明

1. 逻辑模块化：

   • 核心逻辑被独立为 calculateTerm 函数，使主程序简洁明了。

2. 增强可读性：

   • 函数命名直观，便于理解其功能。

3. 便于扩展：

   • 若需增加输入验证或边界处理，可直接在函数中实现。

💯实用提示与总结

提示 1：边界条件的重要性

• 在实现时，应显式处理边界情况（如 $n==1$ 和 $n==2$）。
• 对异常输入（如 $n\le 0$）进行适当的错误提示。

提示 2：公式的灵活应用

• 根据不同场景，选择从 $a_1$ 或 $a_2$ 出发的通项公式，可以优化计算。

提示 3：逐步验证结果

• 对公式的每一步代入进行验证，确保逻辑严谨。

提示 4：代码调试策略

• 利用断点调试工具，逐步检查变量值与计算结果。

💯小结

• 
  通过本文的分析与优化，我们明确了以下要点：

1. 公式掌握是解题核心：
   • 等差数列的通项公式及其变形是解决此类问题的基础。
2. 特殊情况处理提升代码健壮性：
   • 显式处理边界条件可以避免潜在逻辑错误。
3. 封装与模块化设计增强代码质量：
   • 将逻辑独立为函数，提升了代码的可读性、复用性与维护性。