深度学习速通系列:动态规划

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种用于解决最优化问题的算法设计方法。它通过将复杂问题分解成更小的子问题，并存储已解决的子问题结果来避免重复计算，从而有效地提高计算效率。

动态规划的基本思想：

1. 问题的最优子结构：原问题的最优解可以通过子问题的最优解来推导出来。
2. 子问题的重叠性：原问题的解可以由子问题的解组合而成，这些子问题会多次计算，因此需要保存子问题的解来避免重复计算。

动态规划的步骤：

1. 定义状态：确定问题中的子问题状态，通常通过一个或多个变量来表示子问题的解。
2. 状态转移方程：通过已知的子问题的解来计算出当前问题的解。
3. 边界条件：确定最小子问题的解，这通常是已知的初始值。
4. 计算顺序：根据状态转移方程计算问题的解，通常是通过自底向上的方式，先解决最小子问题，再逐步解决较大的子问题，直到解决原问题。

动态规划的类型：

1. 自顶向下（递归 + 记忆化）：通过递归求解每个子问题，并利用备忘录（数组或字典）来存储子问题的结果，避免重复计算。
2. 自底向上（迭代）：从最简单的子问题开始，通过迭代逐步求解更大的子问题，直到得到原问题的解。

经典的动态规划问题：

1. 背包问题：给定一组物品，每个物品有一个重量和价值，背包有一个最大承重，求能够装入背包的最大价值。
2. 最长公共子序列（LCS）：给定两个字符串，找出它们的最长公共子序列。
3. 最短路径问题：如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法，用来解决图中最短路径的计算。
4. 矩阵链乘法：给定一系列矩阵，求出最小的计算代价（最少的乘法次数）来计算这些矩阵的乘积。
5. 爬楼梯问题：给定n阶楼梯，每次可以走1阶或2阶，问走到第n阶有多少种方法。

动态规划的实现示例：

以0-1背包问题为例，给出动态规划的解法。

问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和价值，背包的容量为C，求最大价值。

def knapsack(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    # 创建一个二维dp数组，dp[i][j]表示前i个物品，背包容量为j时的最大价值
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 填充dp表
    for i in range(1, n + 1):
        for w in range(capacity + 1):
            # 不放第i个物品
            dp[i][w] = dp[i - 1][w]
            # 放第i个物品，且背包容量大于物品重量
            if w >= weights[i - 1]:
                dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])

    return dp[n][capacity]

# 示例
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
capacity = 5
print(knapsack(weights, values, capacity))  # 输出 7

解释：

• dp[i][w]表示前i个物品、背包容量为w时的最大价值。
• 对于每个物品，可以选择放入背包或不放入背包，转移方程为：
  [
  dp[i][w] = \max(dp[i-1][w], dp[i-1][w - weight[i]] + value[i])
  ]
• 最终的解即为dp[n][capacity]。

动态规划的时间与空间复杂度：

• 时间复杂度：通常是O(n * W)，其中n是物品的数量，W是背包的容量。对于大多数动态规划问题，复杂度取决于子问题的数量。
• 空间复杂度：O(n * W)，通常需要存储每个子问题的解。如果空间有限，可以通过优化空间复杂度来减少内存使用，例如通过滚动数组将空间从O(n * W)降到O(W)。

动态规划的核心是“记住之前的计算结果”，它避免了重复计算，是解决很多最优化问题的有效工具。