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1 二分查找
①定义
在计算机科学中，二分算法（Binary Search）是一种高效的查找算法，用于在一个已排序的数组中查找某个目标元素。二分算法的基本思想是通过将问题规模每次减半，来缩小查找范围，从而实现高效搜索。
②原理
二分查找算法基于分治思想。给定一个已排序的数组，二分算法通过不断将数组分为两部分，比较目标值与中间元素的关系，来确定目标值所在的范围。
③算法步骤
- 初始化边界：设定两个指针，
left和right，分别指向数组的起始和结束位置。 - 计算中间位置：在每次查找中，计算中间位置
mid = (left + right) // 2。 - 比较目标与中间值：
- 如果目标值等于中间元素
array[mid]，则查找成功，返回该元素的索引。 - 如果目标值小于中间元素，目标元素只能在左半部分，因此将右边界
right更新为mid - 1。 - 如果目标值大于中间元素，目标元素只能在右半部分，因此将左边界
left更新为mid + 1。
- 如果目标值等于中间元素
- 终止条件：当
left>right时，查找失败，目标元素不在数组中。
④时间复杂度分析
二分查找算法的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组的元素个数。原因在于，每次查找时都会将搜索区间减半。因此，二分查找的效率非常高，尤其适用于大规模的数据集。
⑤空间复杂度分析
- 非递归实现的空间复杂度为 O(1)，因为只使用了常数级的额外空间。
- 递归实现的空间复杂度为 O(log n)，因为递归调用会占用栈空间。
⑤应用场景
二分查找算法在许多实际问题中都有广泛的应用，尤其是当数据集已经排好序时。常见的应用场景包括：
- 查找数据：二分查找常用于在已排序的数组中查找元素，尤其是当元素数量很大时，二分查找能够显著提高查找效率。
- 插入位置：在一些算法中，我们需要找出某个元素在一个已排序数组中的插入位置，这时二分查找是一种高效的方法。
- 区间问题：二分查找还可以用来解决一些特殊的区间问题，比如寻找满足某个条件的最小值或最大值。
- 搜索引擎与数据库：搜索引擎和数据库在对大量有序数据进行检索时，通常会用到二分查找。
2 例题分析
题目地址：https://www.lanqiao.cn/problems/99/learning/
样例输入
2 10
6 5
5 6
样例输出
2
【示例代码】
# 输入巧克力块的数量N和需要切出的块的数量K
N, K = map(int, input().split())
a = []
for i in range(N):
# 输入每个巧克力的长宽
x, y = map(int, input().split())
# 将巧克力的长宽作为元组存储到列表a中
a.append((x, y))
# check函数：判断给定边长x时，是否能够切出至少K块巧克力小块
def check(x):
# cnt表示当前边长x下，能够切出的块的总数
cnt = 0
# 遍历每一块巧克力
for H, W in a:
# 计算当前巧克力中可以切出多少个边长为x的小块
cnt += (H // x) * (W // x)
# 如果切出的块数大于等于K，则返回True，表示可能
return cnt >= K
# 二分查找边长x的最大值
left, right = 1, 100000 # 边长x的搜索范围，从1到100000
ans = 1 # 初始假定最小的有效边长为1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2 # 取当前搜索区间的中点
if check(mid): # 如果可以切出至少K块小块
ans = mid # 记录当前中点作为可能的答案
# 尝试寻找更大的边长，调整搜索区间为[mid+1, right]
left = mid + 1
else:
# 否则尝试更小的边长，调整搜索区间为[left, mid-1]
right = mid - 1
print(ans) # 输出最大边长
【执行流程】
①初始输入
N, K = map(int, input().split()) # 输入巧克力块的数量N和需要切出的块的数量K
a = []
for i in range(N):
# 输入每个巧克力的长宽
x, y = map(int, input().split())
# 将巧克力的长宽作为元组存储到列表a中
a.append((x, y))
- 输入的
2 10解析为N = 2和K = 10，表示有 2 块巧克力，目标是切出 10 块小巧克力。 - 接下来，输入两行表示巧克力的尺寸：
6 5和5 6。 a列表最终存储为[(6, 5), (5, 6)]，即两块巧克力的尺寸。
②定义 check(x) 函数
def check(x):
# cnt表示当前边长x下，能够切出的块的总数
cnt = 0
# 遍历每一块巧克力
for H, W in a:
# 计算当前巧克力中可以切出多少个边长为x的小块
cnt += (H // x) * (W // x)
# 如果切出的块数大于等于K，则返回True，表示可能
return cnt >= K
check(x)的作用是，给定边长x，判断是否能够切出至少K块小巧克力。- 对于每一块巧克力
(H, W)，计算在该巧克力中能够切出的边长为x的小块数目为(H // x) * (W // x)，即在高度和宽度上都切割出多少个小块。 - 最后，返回
cnt >= K，表示切出的块数是否达到或超过了K。
③二分查找最大边长
left, right = 1, 100000 # 边长x的搜索范围，从1到100000
ans = 1 # 初始假定最小的有效边长为1
while left <= right:
mid = (left + right) // 2 # 取当前搜索区间的中点
if check(mid): # 如果可以切出至少K块小块
ans = mid # 记录当前中点作为可能的答案
# 尝试寻找更大的边长，调整搜索区间为[mid+1, right]
left = mid + 1
else:
# 否则尝试更小的边长，调整搜索区间为[left, mid-1]
right = mid - 1
print(ans) # 输出最大边长
- 设定初始的搜索范围为
left = 1，right = 100000，表示我们假定边长x可能的最大值为100000。 - 使用二分查找逐步缩小搜索范围来找到能切出至少
K块小巧克力的最大边长x。
【执行二分查找过程】
初始区间 [left=1, right=100000]
第一次循环：
- 计算中点：
mid = (1 + 100000) // 2 = 50000。 - 调用
check(50000)：- 对于第一块巧克力
(6, 5)，50000边长无法切割出任何小块（6 // 50000 = 0，5 // 50000 = 0），所以结果为0块。 - 对于第二块巧克力
(5, 6)，同样，50000边长无法切割出任何小块（5 // 50000 = 0，6 // 50000 = 0），所以结果为0块。 - 总共切出的块数为
0，check(50000)返回False，因此调整搜索区间为[1, 49999]。
- 对于第一块巧克力
第二次循环：
计算中点：
mid = (1 + 49999) // 2 = 25000。调用
check(25000)：- 对于第一块巧克力
(6, 5)，25000边长无法切割出任何小块（6 // 25000 = 0，5 // 25000 = 0），所以结果为0块。 - 对于第二块巧克力
(5, 6)，同样，25000边长无法切割出任何小块（5 // 25000 = 0，6 // 25000 = 0），所以结果为0块。 - 总共切出的块数为
0，check(25000)返回False，因此调整搜索区间为[1, 24999]。
- 对于第一块巧克力
继续减小搜索区间：直到找到一个合适的边长。
终止条件与最终结果
最终，通过多次二分查找，我们最终会找到 x = 2 是最大边长，能够切出至少 K = 10 块小巧克力。具体的结果是：
- 对于
x = 2，第一块巧克力(6, 5)可以切出6 // 2 = 3行，5 // 2 = 2列，总共能切出3 * 2 = 6块。 - 对于
x = 2，第二块巧克力(5, 6)可以切出5 // 2 = 2行，6 // 2 = 3列，总共能切出2 * 3 = 6块。 - 总共切出的块数是
6 + 6 = 12块，满足K = 10，因此check(2)返回True，最终输出2。
④最终输出
2
【运行结果】
