【概率论第一章：随机事件与概率】

概率论

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以下是本篇内容介绍
概率的基础概念以及常用公式，基本模型。
重点:

• 四大公式使用，即加法公式，减法公式，乘法公式(事件独立)以及条件概率公式。
• 全概率公式和贝叶斯公式。
• 古典概型，几何概型，伯努利概型。

1. 基本概念

1.1 随机试验

随机试验是指在相同条件下可重复进行的实验，其所有可能的结果或结果所在的范围是已知的。

1.2 样本空间和样本点

• 样本空间（Sample Space）记为 $\Omega$，表示所有可能结果的集合。
• 样本点（Sample Point）记为 $\omega$，是样本空间中的一个具体结果。

1.3 随机事件

随机事件是样本空间的子集。

• 必然事件：$\Omega$，即样本空间本身。
• 不可能事件：$\varnothing$，即空集。

1.4 事件的包含关系

• 包含：$A\subset B$ 表示事件 $A$ 包含于事件 $B$。事件A发生那么事件B一定发生。
• 相等：$A=B$ 表示事件 $A$ 与事件 $B$ 相等。
• 交集：$A\cap B或者AB$ 表示事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生。
• 并集：$A\cup B或者A+B$ 表示事件 $A$ 或事件 $B$ 发生，“A与B至少发生一个(包含同时发生)”
• 差集：$A-B$ 表示事件 $A$ 发生但事件 $B$ 不发生。

1.5 特殊事件

• 互斥事件：$A\cap B=\varnothing$，即事件 $A$ 与事件 $B$ 不可能同时发生。
• 对立事件：$\overline{A}=\Omega -A$，即事件 $A$ 的对立事件。
  $A\cup B=\Omega 且A\cap B=\varnothing$

1.6 事件的运算规律

若 $A\subset B$，则
$$A\cup B=B,A\cap B=A$$
运算具有交换律和结合律：
$$A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$$
$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$$
$$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$$
分配律：
$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$
$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$
德摩根律：
$$\begin{gathered} \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} \\ \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} \end{gathered}$$
对于有限多个事件，有：
$$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\overline{\bigcap _{i=1}^n\overline{A_i}},\bigcap _{i=1}^n{A}_i=\overline{\bigcup _{i=1}^n\overline{A_i}}$$

1.7 频数、频率与概率

• 频数：某事件在实验中出现的次数。
• 频率：某事件出现的频数与总实验次数的比值。
• 概率：在大量重复实验中，事件发生的相对频率的极限。

2. 概率

2.1 概率的定义

若实值函数 $P$ 满足以下条件：

1. 对于任意事件，$P(A)\ge 0$。
2. 对于必然事件，$P(\Omega )=1$。
3. 对于两两互斥(不相容)的可数无穷多个事件，有
   $$P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n)$$
   则称 $P(\cdot )$ 为概率。—有限可加性(推广后无限个事件同样满足)

2.2 概率的性质

• $P(\varnothing )=0$
• $0\le P(A)\le 1$
• $P(\overline{A})=1-P(A)$ 对立事件(逆事件)的概率
• 对于两两互斥的有限个事件，有
  $$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$
• 若 $A\subset B$，则 $P(A)\le P(B)$，且$P(B-A)=P(B)-P(A)$

注意：

• $P(A)=0$ 并不能得出 $A$ 为不可能事件。
• $P(B)=1$ 并不能得出 $B$ 为必然事件。例如，在几何概型中，样本空间具有连续性，存在无穷多个样本点，取到某个具体点的概率为 $0$，而不取到某个点的概率为 $1$。

2.3 条件概率

条件概率定义为：
$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
表示在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率。

概率乘法的一般公式:$P(A)P(B\mid A)=P(AB),ifP(A)>0$
条件概率同样是概率，满足概率的性质。

2.4 事件的独立性

设 $A$ 和 $B$ 两事件满足
$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
则称 $A$ 和 $B$ 相互独立。

注意：
一个是多事件独立的判定条件，另一个是A与B独立与A或者B是否发生无关。
多个事件独立并不是简单地满足上述等式，而需要这些事件的所有任意组合都满足该等式。例如，$A,B,C$ 相互独立需满足：
$$\{\begin{array}{l}P(A\cap B)=P(A)P(B)\\ P(B\cap C)=P(B)P(C)\\ P(A\cap C)=P(A)P(C)\\ P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$$
此外，以下四个结论之间是等价的：

1. $A,B$ 相互独立。
2. $A,\overline{B}$ 相互独立。
3. $\overline{A},B$ 相互独立。
4. $\overline{A},\overline{B}$ 相互独立。

当多个事件相互独立时，它的任意子集也相互独立。

2.5 常用公式

加法公式

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$
$$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC);$$

减法公式

$$[P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B})]$$

乘法公式

$$P(AB)=P(B\mid A)P(A)$$
对于 $n$ 个事件的乘法公式：
$$P(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_n\mid A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_{n-1}))$$

全概率公式

设 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ 满足：
$$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\Omega ,B_i\cap B_j=\varnothing (i\ne j)$$
且 $P(B_k)>0$，$k=1,2,\dots ,n$，则对于任意事件 $A$ 有
$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)$$
当 $n=2$ 时，全概率公式为：
$$P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid \overline{B})P(\overline{B})$$

贝叶斯公式

设 $B_1,B_2,\dots ,B_n$ 满足全概率公式的条件，且 $P(A)>0$，$P(B_k)>0$，$k=1,2,\dots ,n$，则
$$[P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)}]$$
注：贝叶斯公式表征的是在已知某一结果的情况下，对题设条件的推断。

3. 古典概型和伯努利概型

3.1 古典概型

古典概型包含有限个样本点，且每个样本点发生的概率相同。其概率计算公式为：
$$P(A)=\frac{n_A}{n}$$
其中，$n_A$ 为事件 $A$ 包含的样本点数，$n$ 为样本空间的总样本点数。

3.2 几何概型

几何概型的样本区间可以表示为一个几何区域，且每个样本点发生的概率相同。其概率计算公式为：
$$P(A)=\frac{L({\Omega }_A)}{L(\Omega )}$$
其中，$L({\Omega }_A)$ 表示事件 $A$ 所对应的几何区域的度量（如长度、面积、体积等），$L(\Omega )$ 表示样本空间 $\Omega$ 的几何区域的度量。

3.3 $n$ 重伯努利概型

$n$ 重伯努利概型中，各次实验相互独立，且每次实验只有两种可能的结果$A和\overline{A}$。

设每次实验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$，则在 $n$ 重伯努利试验中，事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率为：
$$P(A\text{ 发生 }k\text{ 次})=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$
其中，$C_n^k$ 为组合数，表示从 $n$ 次试验中选出 $k$ 次发生事件 $A$ 的方式数。

结尾

The World
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