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题目描述如下:
给你一个 m x n 的二进制矩阵 mat ，请你返回有多少个 子矩形 的元素全部都是 1 。
示例 1：
输入：mat = [[0,1,1,0],[0,1,1,1],[1,1,1,0]] 输出：24 解释： 有 8 个 1x1 的子矩形。 有 5 个 1x2 的子矩形。 有 2 个 1x3 的子矩形。 有 4 个 2x1 的子矩形。 有 2 个 2x2 的子矩形。 有 2 个 3x1 的子矩形。 有 1 个 3x2 的子矩形。 矩形数目总共 = 8 + 5 + 2 + 4 + 2 + 2 + 1 = 24 。
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算法思路:
根据题目的描述，我们发现在数矩形的过程中有递推关系的出现。
我们设如下变量:
grd(r,c)为r行c列的单元格。
cnt(r,c)表示所有以grd(r,c)为右上角的矩形数量。r=0在底边，c=0在左边。
lSpan(r,c)表示以grd(r,c)为起始点向左连续为1的数量，包括grd(r,c)本身。如果grd(r,c)为0，那么lSpan(r,c)等于0。
递推关系如下:
1. 当lSpan(r,c) >= lSpan(r-1,c)时，
cnt(r, c)=cnt(r-1, c) + lSpan(r,c)。
2. 当lSpan(r,c) < lSpan(r-1,c)时，有点复杂。我们需要沿着c列从第r行往下找到第一个小于lSpan(r,c)的第k行。然后
cnt(r, c)=cnt(k, c) + lSpan(r,c)*(r-k)。
上面的递推关系基本就是算法的总体思路了，但现在有个问题，我们如何快速的找到情况2中的k呢？
我们可以为每一列维护一个单调栈stck来快速的找到k。stck中的初始元素是索引0，表示第0行。stck[-1]表示栈顶元素。
当连续的出现lSpan(r,c) < lSpan(stck[-1],c) 的情况时，我们不断的弹出栈顶元素，直到找到那个索引k，即，lSpan(r,c) >= lSpan(k,c)。
当出现lSpan(r,c) >= lSpan(stck[-1],c) 时，我们把r放入stck。
此时我们便可以计算出
cnt(r, c)=cnt(k, c) + lSpan(r,c)*(r-k)。
上面的情况1也可以用此公式计算出。此时k=r-1。
为了便于编码，我们把所有需要初始的二维数组的行列都比原数组的行列增加1。细节请参考代码。
算法的时间复杂度是 O(M * N)，其中 M 是mat的行数，N是mat的列数。虽然我们使用了单调栈操作，但由于每个元素最多只会被压入和弹出栈一次，因此在整个算法中，单调栈的均摊复杂度是 O(1)。因此，单调栈的操作不会增加整体的时间复杂度。下面是代码实现:
class Solution(object):
def numSubmat(self, mat):
"""
:type mat: List[List[int]]
:rtype: int
"""
row_len=len(mat)
col_len=len(mat[0])
cnt = [[0 for _ in range(col_len+1)] for _ in range(row_len+1)]
lSpan=[[0 for _ in range(col_len+1)] for _ in range(row_len+1)]
stckSpan=[[0] for _ in range(col_len+1)]
res=0
for r in range(1, row_len+1):
for c in range(1, col_len+1):
if mat[row_len-r][c-1]==1:
lSpan[r][c]=lSpan[r][c-1]+1
stck=stckSpan[c]
while lSpan[r][c] < lSpan[stck[-1]][c]:
stck.pop()
cnt[r][c]=lSpan[r][c]*(r-stck[-1]) + cnt[stck[-1]][c]
stck.append(r)
res+=cnt[r][c]
return res关键词: 动态规划，单调栈