数据结构:二叉树

发布于:2025-02-21 ⋅ 阅读:(16) ⋅ 点赞:(0)

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点

除根结点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1又是一棵结构与树类似的子树。

每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继 因此,树是递归定义的。

 

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构  

1.2 树的相关概念 

结点的度:一个结点含有的子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的为6

叶结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G...等结点为分支结点

双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点

孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点

兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点

树的度:一棵树中,最大的结点的度称为树的度; 如上图:树的度为6

结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推;

树的高度或深度:树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4

堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点

结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先

子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙

森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林; 

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间 的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

1.4 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构) 

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 

从上图可以看出:

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

 2.2现实中的二叉树:

 

 2.3 特殊的二叉树:

1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质

/*
* 假设二叉树有N个结点
* 从总结点数角度考虑:N = n0 + n1 + n2 ①
* 
* 从边的角度考虑,N个结点的任意二叉树,总共有N-1条边
* 因为二叉树中每个结点都有双亲,根结点没有双亲,每个节点向上与其双亲之间存在一条边
* 因此N个结点的二叉树总共有N-1条边
* 
* 因为度为0的结点没有孩子,故度为0的结点不产生边; 度为1的结点只有一个孩子,故每个度为1的结
点* * 产生一条边; 度为2的结点有2个孩子,故每个度为2的结点产生两条边,所以总边数为:
n1+2*n2 
* 故从边的角度考虑:N-1 = n1 + 2*n2 ②
* 结合① 和 ②得:n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1
* 即:n0 = n2 + 1
*/

4. 若规定根结点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h= . (ps: 是log以2 为底,n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号,则对 于序号为i的结点有:

1. 若i>0,i位置结点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点

2. 若2i+1,左孩子序号:2i+1,2i+1>=n否则无左孩子

3. 若2i+2,右孩子序号:2i+2,2i+2>=n否则无右孩子

1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
 
2.下列数据结构中,不适合采用顺序存储结构的是( )
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
 
3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
 
A n
B n+1
C n-1
D n/2
 
4.一棵完全二叉树的结点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12
 
5.一个具有767个结点的完全二叉树,其叶子结点个数为()
A 383
B 384
C 385
D 386
 
答案:
1.B
2.A
3.A
4.B
5.B

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

 

 3.二叉树的顺序结构及实现

3.1二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储,需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事,一个是数据结构,一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { , , ,…, },把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中,并满足: 且 = 且 >= ) i = 0,1, 2…,则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质:

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值;

堆总是一棵完全二叉树。 


选择题

1.下列关键字序列为堆的是:()
 
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
 
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12,删除关键字 8 之后需重建堆,在此过程中,关键字之间的比较次
数是()。
A 1
B 2
C 3
D 4
 
3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为
A(11 5 7 2 3 17)
B(11 5 7 2 17 3)
C(17 11 7 2 3 5)
D(17 11 7 5 3 2)
E(17 7 11 3 5 2)
F(17 7 11 3 2 5)
 
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后,其结果是()
A[3,2,5,7,4,6,8]
B[2,3,5,7,4,6,8]
C[2,3,4,5,7,8,6]
D[2,3,4,5,6,7,8]

选择题答案

1.A
2.C
3.C
4.C

3.3 堆的实现

3.3.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组,逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根结点开始的向下调整算法可以把它调整 成一个小堆。向下调整算法有一个前提:左右子树必须是一个堆,才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

3.3.2堆的创建

下面我们给出一个数组,这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树,但是还不是一个堆,现在我们通过算 法,把它构建成一个堆。根结点左右子树不是堆,我们怎么调整呢?这里我们从倒数的第一个非叶子结点的 子树开始调整,一直调整到根结点的树,就可以调整成堆。  

 int a[] = {1,5,3,8,7,6};

3.3.3 建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树,而满二叉树也是完全二叉树,此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的 就是近似值,多几个结点不影响最终结果):  

因此:建堆的时间复杂度为O(N)。  

3.3.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上,再进行向上调整算法,直到满足堆。

3.3.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据,将堆顶的数据根最后一个数据一换,然后删除数组最后一个数据,再进行向下调 整算法。 

3.3.6 堆的代码实现 

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
 HPDataType* _a;
 int _size;
 int _capacity; 
}Heap;
 
// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

3.4 堆的应用

3.4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:

1. 建堆

升序:建大堆

降序:建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序 建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序。

3.4.2 TOP-K问题

TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。

比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子全部加载到内存中)。

最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素,则建小堆

前k个最小的元素,则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。 

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
 // 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
 
 // 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换,不满则则替换
}
void TestTopk()
{
 int n = 10000;
 int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
 srand(time(0));
 for (size_t i = 0; i < n; ++i)
 {
 a[i] = rand() % 1000000;
 }
 a[5] = 1000000 + 1;
 a[1231] = 1000000 + 2;
 a[531] = 1000000 + 3;
 a[5121] = 1000000 + 4;
 a[115] = 1000000 + 5;
 a[2335] = 1000000 + 6;
 a[9999] = 1000000 + 7;
 a[76] = 1000000 + 8;
 a[423] = 1000000 + 9;
 a[3144] = 1000000 + 10;
 PrintTopK(a, n, 10);
}

4.二叉树链式结构的实现

4.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前,需先要创建一棵二叉树,然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二 叉树结构掌握还不够深入,为了降低大家学习成本,此处手动快速创建一棵简单的二叉树,快速进入二叉树 操作学习,等二叉树结构了解的差不多时,我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
 BTDataType _data;
 struct BinaryTreeNode* _left;
 struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;
 
BTNode* CreatBinaryTree()
{
 BTNode* node1 = BuyNode(1);
 BTNode* node2 = BuyNode(2);
 BTNode* node3 = BuyNode(3);
 BTNode* node4 = BuyNode(4);
 BTNode* node5 = BuyNode(5);
 BTNode* node6 = BuyNode(6);
 
 node1->_left = node2;
 node1->_right = node4;
 node2->_left = node3;
 node4->_left = node5;
 node4->_right = node6;
return node1;
}

注意:上述代码并不是创建二叉树的方式,真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。 再看二叉树基本操作前,再回顾下二叉树的概念,二叉树是:
1. 空树

2. 非空:根结点,根结点的左子树、根结点的右子树组成的。

从概念中可以看出,二叉树定义是递归式的,因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

4.2二叉树的遍历

4.2.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉 树中的结点进行相应的操作,并且每个结点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历 是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。 

按照规则,二叉树的遍历有:前序/中序/后序的递归结构遍历:

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。  

// 二叉树前序遍历 
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

下面主要分析前序递归遍历,中序与后序图解类似,同学们可自己动手绘制。

前序遍历递归图解:

 

前序遍历结果:1 2 3 4 5 6

中序遍历结果:3 2 1 5 4 6

后序遍历结果:3 2 5 6 4 1

4.2.2 层序遍历

层序遍历:除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在 层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发,首先访问第一层的树根结点,然后从左到右访问第2层 上的结点,接着是第三层的结点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

 

// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root);

练习:请写出下面的前序/中序/后序/层序遍历


选择题

1.某完全二叉树按层次输出(同一层从左到右)的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为( )
A ABDHECFG
B ABCDEFGH
C HDBEAFCG
D HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下:先序遍历:EFHIGJK;中序遍历:HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A E
B F
C G
D H
3.设一课二叉树的中序遍历序列:badce,后序遍历序列:bdeca,则二叉树前序遍历序列为____。
A adbce
B decab
C debac
D abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同,均为 ABCDEF ,则按层次输出(同一层从左到右)的序列
为
A FEDCBA 
B CBAFED
C DEFCBA
D ABCDEF

选择题答案

1.A
2.A
3.D
4.A

4.3 结点个数以及高度等

// 二叉树结点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子结点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

4.4 二叉树的创建和销毁

二叉树的构建及遍历。

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);

好了,我们今天的内容就讲到这里,谢谢大家


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