手写数字识别的神经网络 2层神经网络的类 代码详解

发布于：2025-02-22 ⋅ 阅读:(14) ⋅ 点赞:(0)

源代码和图解来自鱼书

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2层神经网络的类

源代码：

详解：

1. 类的初始化 (__init__)

2. 前向传播 (predict)

3. 损失函数 (loss)

4. 准确率计算 (accuracy)

5. 数值梯度计算 (numerical_gradient)

6. 反向传播计算梯度 (gradient)

总结：

2层神经网络的类

源代码：

# coding: utf-8
import sys, os
sys.path.append(os.pardir)  # 为了导入父目录的文件而进行的设定
from common.functions import *
from common.gradient import numerical_gradient


class TwoLayerNet:

    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):
        # 初始化权重
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(output_size)

    def predict(self, x):
        W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
        b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
    
        a1 = np.dot(x, W1) + b1
        z1 = sigmoid(a1)
        a2 = np.dot(z1, W2) + b2
        y = softmax(a2)
        
        return y
        
    # x:输入数据, t:监督数据
    def loss(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        
        return cross_entropy_error(y, t)
    
    def accuracy(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        y = np.argmax(y, axis=1)
        t = np.argmax(t, axis=1)
        
        accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])
        return accuracy
        
    # x:输入数据, t:监督数据
    def numerical_gradient(self, x, t):
        loss_W = lambda W: self.loss(x, t)
        
        grads = {}
        grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
        grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
        grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
        grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])
        
        return grads
        
    def gradient(self, x, t):
        W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
        b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
        grads = {}
        
        batch_num = x.shape[0]
        
        # forward
        a1 = np.dot(x, W1) + b1
        z1 = sigmoid(a1)
        a2 = np.dot(z1, W2) + b2
        y = softmax(a2)
        
        # backward
        dy = (y - t) / batch_num
        grads['W2'] = np.dot(z1.T, dy)
        grads['b2'] = np.sum(dy, axis=0)
        
        da1 = np.dot(dy, W2.T)
        dz1 = sigmoid_grad(a1) * da1
        grads['W1'] = np.dot(x.T, dz1)
        grads['b1'] = np.sum(dz1, axis=0)

        return grads

详解：

这段代码实现了一个两层神经网络 TwoLayerNet，并包含了前向传播、损失计算、准确率计算、梯度计算等功能。我们逐步解释每个部分：

1. 类的初始化 (__init__)

class TwoLayerNet:
    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(output_size)
  • input_size、hidden_size 和 output_size 分别是输入层、隐藏层和输出层的神经元数目。
  • 权重 W1 和 W2 是从正态分布中随机初始化的（通过 np.random.randn），偏置 b1 和 b2 被初始化为零。
  • weight_init_std 是一个可选的参数，用于控制权重的初始化标准差。

2. 前向传播 (predict)

def predict(self, x):
    W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
    b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
    
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    y = softmax(a2)
    
    return y
  • 通过 x（输入数据），计算网络的输出：
    1. a1 = np.dot(x, W1) + b1：将输入数据与第一个权重矩阵相乘并加上偏置。
    2. z1 = sigmoid(a1)：对 a1 进行 Sigmoid 激活。
    3. a2 = np.dot(z1, W2) + b2：将隐藏层的输出 z1 乘以第二层的权重矩阵并加上偏置。
    4. y = softmax(a2)：对第二层的结果应用 Softmax 激活，得到最终的输出概率分布。

3. 损失函数 (loss)

def loss(self, x, t):
    y = self.predict(x)
    return cross_entropy_error(y, t)
  • 使用 predict 方法计算网络的输出 y，然后计算输出与真实标签 t 之间的交叉熵损失。交叉熵损失用于评估模型预测的概率分布与实际标签之间的差异。

4. 准确率计算 (accuracy)

def accuracy(self, x, t):
    y = self.predict(x)
    y = np.argmax(y, axis=1)
    t = np.argmax(t, axis=1)
    
    accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])
    return accuracy
  • y = np.argmax(y, axis=1)：将每个样本的输出概率向量转化为类别标签（选择概率最大的位置作为预测类别）。
  • t = np.argmax(t, axis=1)：将真实标签 t 也转化为类别标签。
  • 计算预测正确的样本比例，即准确率。

5. 数值梯度计算 (numerical_gradient)

def numerical_gradient(self, x, t):
    loss_W = lambda W: self.loss(x, t)
    
    grads = {}
    grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
    grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
    grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
    grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])
    
    return grads
  • 通过数值梯度法（numerical_gradient）计算各个参数（权重和偏置）的梯度。
  • loss_W 是由lambda定义的一个匿名函数，计算在给定输入 x 和标签 t 下，损失函数的值。
  • numerical_gradient 用于计算每个参数的梯度，返回一个字典 grads，包含了所有权重和偏置的梯度。在反向传播过程中，numerical_gradient(loss_W, self.params['W1']) 会通过数值方法（有限差分法）计算出 loss(W) 对 W1 的梯度。

6. 反向传播计算梯度 (gradient)

def gradient(self, x, t):
    W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
    b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
    grads = {}
    
    batch_num = x.shape[0]
    
    # forward
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    y = softmax(a2)
    
    # backward
    dy = (y - t) / batch_num
    grads['W2'] = np.dot(z1.T, dy)
    grads['b2'] = np.sum(dy, axis=0)
    
    da1 = np.dot(dy, W2.T)
    dz1 = sigmoid_grad(a1) * da1
    grads['W1'] = np.dot(x.T, dz1)
    grads['b1'] = np.sum(dz1, axis=0)

    return grads
  • 前向传播： predict 函数中计算出神经网络的输出 y的步骤。
  • 反向传播：
    • 计算损失对输出层的梯度：dy = (y - t) / batch_num，这是 Softmax 层和交叉熵损失的导数。
    • 更新 W2 和 b2：通过矩阵乘法 np.dot(z1.T, dy) 计算梯度。
    • 计算隐藏层的梯度：da1 = np.dot(dy, W2.T)，然后通过 sigmoid_grad 对 a1 的梯度进行修正。
    • 更新 W1 和 b1：使用反向传播的链式法则进行计算。

为什么要计算梯度：

在神经网络的训练过程中，计算权重和偏置的梯度是优化算法（如梯度下降法）的核心。通过这些梯度，网络可以知道如何调整权重和偏置，以便最小化损失函数，进而提高模型的准确性。下面是对这段代码中计算梯度的具体作用的解释：

代码解析：

def numerical_gradient(self, x, t):
    loss_W = lambda W: self.loss(x, t)
​
    grads = {}
    grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
    grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
    grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
    grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
​
    return grads
1. 计算梯度的目的：

在神经网络中，训练的目标是最小化损失函数（如交叉熵损失）。为了实现这一目标，我们需要根据损失函数的值调整网络的参数。网络的参数通常包括：

  • 权重（Weights）：W1、W2

  • 偏置（Biases）：b1、b2

计算这些参数的梯度是为了指导优化过程，告诉我们每个参数的改变会如何影响损失函数。具体来说：

  • W1、W2：这些是网络中每一层的权重参数，它们决定了输入信号如何在网络中传播。

  • b1、b2：这些是偏置项，用于调整每层的输出，使得模型更灵活，能够拟合更多样的数据。

2. 梯度计算的方式：

在这段代码中，使用了 数值梯度（numerical_gradient）来计算损失函数对这些参数的导数。通过对每个参数（如 W1、b1）的微小变化，观察损失函数的变化来估算梯度。

梯度的作用：

  • 梯度（Gradient）

    ：表示损失函数对于一个参数（例如权重

    W1

    ）的变化率。这个梯度告诉我们如何调整该参数，以便使损失函数最小化。

    • 如果梯度是正的，说明增加该参数的值会使损失增大，应该减小该参数。

    • 如果梯度是负的，说明增加该参数的值会使损失减小，应该增大该参数。

3. 为什么计算 W1、W2、b1、b2 的梯度？

每个参数的梯度都对应着损失函数在该参数维度上的变化。通过计算这些梯度，我们可以知道每个参数的调整方向和步长，从而在优化过程中更新这些参数。

  • W1 和 W2 的梯度：这些梯度告诉我们如何调整网络的权重。权重通常控制了输入数据在网络中的传播路径及强度，因此它们直接影响最终的预测结果。

  • b1 和 b2 的梯度：这些梯度告诉我们如何调整偏置。偏置项有助于在每一层引入一个常数偏移，帮助神经网络拟合不同的模式。

4. 如何使用这些梯度？

在优化算法（如梯度下降）中，我们使用这些计算出的梯度来更新参数，以便最小化损失函数。例如，在标准的梯度下降中，参数更新规则如下：

 

其中：

  • θ\theta 代表参数（例如 W1、W2、b1、b2）。

  • η\eta 是学习率，决定了每次更新的步长。

  • 是梯度，它指示了如何调整参数以减少损失。

5. 总结：

在神经网络中，计算梯度的核心作用是：

  • 指导优化算法：计算损失函数对每个参数（W1、W2、b1、b2）的梯度，帮助我们了解如何调整参数以减少损失。

  • 调整模型参数：通过使用这些梯度，我们可以根据梯度下降等优化算法更新权重和偏置，最终使模型达到更好的性能。

通过不断计算梯度并更新这些参数，神经网络能够逐步学习到最佳的权重和偏置，从而提高预测的准确性。

总结：

  • 前向传播 计算神经网络的输出。
  • 损失函数 计算网络预测与实际标签之间的误差。
  • 准确率 计算模型的预测准确性。
  • 数值梯度 通过数值方法估算参数的梯度。
  • 反向传播 计算每一层的梯度，利用链式法则更新权重和偏置。

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