机器学习数学基础：33.肯德尔和谐系数教程

肯德尔和谐系数教程

一、定义与用途

肯德尔和谐系数（Kendall’s W）是一种用于衡量多个评价者对一组对象进行评价时，评价结果一致性程度的统计量。它的取值范围在0到1之间。当W \ = 0时，表示评价者之间的评价完全不一致；当W \ = 1时，表示评价者之间的评价完全一致。常用于心理学、教育学、社会学等领域，比如判断多个评委对选手表现评分的一致性，或多位老师对学生论文评价的一致性等。

二、适用场景

1. 多个评价者：适用于两个及以上评价者对同一组对象进行评价的情况。例如，3位医生对20位患者的病情严重程度进行等级评定。
2. 等级数据：评价结果通常为等级形式，如名次、等级分类（优、良、中、差）等。当然，也可以将连续数据转化为等级数据后使用。

三、计算步骤（同一评价者无相同等级评定时）

假设存在K个评价者对N个对象进行评价。

1. 整理数据：将每个评价者对N个对象的评价结果（等级）整理成表格形式。
2. 计算每个对象的秩和$R_i$：对于每个对象，把K个评价者给出的等级相加，得到该对象的秩和$R_i$（$i=1,2,\cdots ,N$）。
3. 计算平均秩和$\bar{R}$：$\bar{R}=\frac{{\sum }_{i=1}^N{R}_i}{N}$，即所有对象秩和的平均值。
4. 计算$S$：$S={\sum }_{i=1}^N(R_i-\bar{R}{)}^2$，也就是每个对象的秩和与平均秩和差值的平方和。
5. 计算肯德尔和谐系数$W$：根据公式$W=\frac{S}{\frac{1}{12}{K}^2(N^3-N)}$进行计算。

四、计算步骤（存在相同等级评定时）

1. 前3步与无相同等级评定时相同。
2. 计算$T_j$：对于每个评价者，统计其评价中相同等级的组数为$g$，对于第$j$组相同等级，设该组等级的个数为$n_j$，则$T_j={\sum }_{j=1}^g\frac{n_j(n_j^2-1)}{12}$。然后计算所有评价者的$T={\sum }_{k=1}^K{T}_k$。
3. 计算$S$的校正值$S^{\prime }$：$S^{\prime }=S-\frac{K(K^2-1)}{12}{\sum }_{k=1}^K{T}_k$。
4. 计算肯德尔和谐系数$W$：$W=\frac{S^{\prime }}{\frac{1}{12}{K}^2(N^3-N)-K{\sum }_{k=1}^K{T}_k}$。

五、实例演示（无相同等级评定）

4位评委（$K=4$）对6位歌手（$N=6$）的演唱表现进行排名，结果如下：

1. 计算每个歌手的秩和$R_i$：
   • 歌手1：$2+3+1+2=8$
   • 歌手2：$4+5+3+4=16$
   • 歌手3：$1+2+4+3=10$
   • 歌手4：$5+6+2+5=18$
   • 歌手5：$3+1+5+1=10$
   • 歌手6：$6+4+6+6=22$
2. 计算平均秩和$\bar{R}$：${\sum }_{i=1}^6{R}_i=8+16+10+18+10+22=84$，$\bar{R}=\frac{84}{6}=14$。
3. 计算$S$：
   -$(8-14{)}^2+(16-14{)}^2+(10-14{)}^2+(18-14{)}^2+(10-14{)}^2+(22-14{)}^2$
   -$=(-6{)}^2+2^2+(-4{)}^2+4^2+(-4{)}^2+8^2$
   -$=36+4+16+16+16+64=152$。
4. 计算肯德尔和谐系数$W$：
   -$\frac{1}{12}{K}^2(N^3-N)=\frac{1}{12}\times 4^2\times (6^3-6)=\frac{1}{12}\times 16\times (216-6)=280$。
   -$W=\frac{152}{280}\approx 0.54$。

说明4位评委对6位歌手演唱表现排名的一致性程度中等。

六、注意事项

1. 肯德尔和谐系数只衡量评价的一致性，不反映评价的准确性。
2. 数据转化为等级时，方法要合理，否则可能影响结果。
3. 当评价者数量或对象数量过少时，结果的可靠性可能降低 。