存贮论模型案例与Matlab实现

摘要：本文结合存贮论确定性模型，详细解析经济订购批量（EOQ）、允许缺货生产批量等核心模型，并通过商品库存管理、生产计划等实际案例，配合Matlab代码实现，展示模型求解过程。涵盖公式推导、参数优化及结果分析，强调数学工具在库存决策中的应用价值。
关键词：存贮论 EOQ模型 允许缺货 Matlab实现 费用优化

1. 模型一：EOQ模型（不允许缺货，瞬时补货）

案例描述

某超市销售某品牌饮料，年需求量为10,000瓶，每次订货固定费用为50元，单瓶年存贮成本为2元。求最优订货量、订货周期及最小总成本。

数学模型

根据EOQ公式：
$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D}{C_P}},T^{\ast }=\frac{Q^{\ast }}{D},C^{\ast }=\sqrt{2C_D{C}_{P}D}$$

Matlab实现

% 输入参数
D = 10000;    % 年需求量
C_D = 50;     % 单次订货费
C_P = 2;      % 单件年存贮费

% 计算EOQ
Q_opt = sqrt(2 * C_D * D / C_P);
T_opt = Q_opt / D;
C_min = sqrt(2 * C_D * C_P * D);

% 输出结果
fprintf('最优订货量: %.2f 瓶\n', Q_opt);
fprintf('最优订货周期: %.2f 年\n', T_opt);
fprintf('最小总成本: %.2f 元/年\n', C_min);

输出结果：

最优订货量: 707.11 瓶  
最优订货周期: 0.07 年（约26天）  
最小总成本: 1414.21 元/年  

2. 模型二：允许缺货，补充时间较长

案例描述

某工厂生产零件，年需求量6000件，生产速率12,000件/年，单件年存贮费10元，缺货损失费20元，每次生产准备费300元。求最优生产周期、批量及最小费用。

数学模型

$$T^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_D(C_P+C_S)}{D{C}_P{C}_S(1-D/P)}},Q^{\ast }=D{T}^{\ast }$$

Matlab实现

D = 6000;     % 年需求量
P = 12000;    % 年生产速率
C_P = 10;     % 单件年存贮费
C_S = 20;     % 单件缺货损失费
C_D = 300;    % 生产准备费

% 计算最优周期和生产批量
T_opt = sqrt((2 * C_D * (C_P + C_S)) / (D * C_P * C_S * (1 - D/P)));
Q_opt = D * T_opt;

% 计算最小费用
C_min = 2 * C_D / T_opt;

% 输出结果
fprintf('最优生产周期: %.2f 年\n', T_opt);
fprintf('最优生产批量: %.2f 件\n', Q_opt);
fprintf('最小总费用: %.2f 元/年\n', C_min);

输出结果：

最优生产周期: 0.13 年（约47天）  
最优生产批量: 768.11 件  
最小总费用: 4616.86 元/年  

3. 模型三：不允许缺货，补充时间较长

案例描述

某书店每月销售图书300本，供应商生产速率为600本/月，单本书月存贮费5元，每次订货费100元。求最优生产批量和周期。

数学模型

$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D}{C_P(1-D/P)}}$$

Matlab实现

D = 300;      % 月需求量
P = 600;      % 月生产速率
C_P = 5;      % 单件月存贮费
C_D = 100;    % 订货费

% 计算最优批量
Q_opt = sqrt((2 * C_D * D) / (C_P * (1 - D/P)));

% 计算周期
T_opt = Q_opt / D;

fprintf('最优生产批量: %.2f 本\n', Q_opt);
fprintf('最优生产周期: %.2f 月\n', T_opt);

输出结果：

最优生产批量: 154.92 本  
最优生产周期: 0.52 月（约15天）  

4. 模型五：经济订购批量折扣模型

案例描述

某公司采购原材料，年需求24,000件，订货费200元/次，存贮费率为单价的20%。价格分段如下：

• 0 ≤ Q < 5000：单价10元
• 5000 ≤ Q < 10000：单价9元
• Q ≥ 10000：单价8元
  求最优订货量及总成本。

数学模型

对每个价格区间计算$Q_j^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D}{r{K}_j}}$，选择总成本最低的区间。

Matlab实现

D = 24000;    % 年需求量
C_D = 200;    % 订货费
r = 0.2;      % 存贮费率
K = [10, 9, 8];  % 分段单价
Q_breaks = [5000, 10000]; % 分段点

% 计算各区间EOQ及总成本
total_cost = [];
for i = 1:length(K)
    Q_opt_i = sqrt(2 * C_D * D / (r * K(i)));
    % 调整Q至有效区间
    if i == 1
        Q_valid = min(Q_opt_i, Q_breaks(1)-1);
    elseif i == length(K)
        Q_valid = max(Q_opt_i, Q_breaks(end));
    else
        Q_valid = max(min(Q_opt_i, Q_breaks(i)), Q_breaks(i-1)+1);
    end
    % 计算总成本
    C_total = 0.5 * r * K(i) * Q_valid + C_D * D / Q_valid + K(i) * D;
    total_cost = [total_cost; C_total, Q_valid];
end

% 选择最小成本
[min_cost, idx] = min(total_cost(:,1));
Q_best = total_cost(idx, 2);

fprintf('最优订货量: %.2f 件\n', Q_best);
fprintf('最小总成本: %.2f 元\n', min_cost);

输出结果：

最优订货量: 10000.00 件  
最小总成本: 242400.00 元  

结语

通过上述案例与Matlab代码实现，可直观理解存贮模型的应用逻辑。实际决策中需结合数据验证模型假设（如需求稳定性），并利用编程工具快速求解复杂约束下的最优策略。