算法系列之排序算法-堆排序

在数据结构中，堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，通常用于实现优先队列。堆分为最大堆和最小堆两种类型。最大堆的每个节点的值都大于或等于其子节点的值，而最小堆的每个节点的值都小于或等于其子节点的值。Java 提供了 PriorityQueue 类来实现堆的功能。

堆的介绍

堆(Heap)是一种满足特定条件的完全二叉树，主要分为两种：如下图所示：

• 小顶堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
• 大顶堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值。

1. 特性：

• 最底层的节点靠左填充，其它层的节点都被填满
• 根节点称为堆顶,最底层最靠右的节点称为堆底
• 堆的根节点（堆顶）是堆中最大（大顶堆）或最小(小顶堆)的元素。

2. 堆的存储

堆通常使用数组来存储。对于一个索引为 i 的节点：

• 其左子节点的索引为 2i + 1

• 其右子节点的索引为 2i + 2

• 其父节点的索引为 (i - 1) / 2

3. 堆的操作及效率

java中提供的是优先队列（PriorityQueue）

堆排序

堆排序（Heap Sort）是一种基于堆数据结构的比较排序算法。它的时间复杂度为 $O(nlogn)$，并且是一种原地排序算法（即不需要额外的存储空间）。堆排序的核心思想是利用堆的性质来维护一个最大堆或最小堆，然后逐步将堆顶元素（最大值或最小值）取出，放到数组的末尾，最终得到一个有序的数组。

堆排序的基本步骤

1. 构建最大堆

从最后一个非叶子节点开始，向前遍历每个节点，对每个节点执行堆化操作。

最后一个非叶子节点的索引为 n/2 - 1，其中 n 是数组的长度。

2. 排序

将堆顶元素（最大值）与堆的最后一个元素交换。(出堆)

将堆的大小减一（即忽略最后一个元素）。

对新的堆顶元素执行堆化操作，以维持最大堆的性质。

重复上述步骤，直到堆的大小为1。

代码实现如下：

/**
 * 堆排序
 */
public class HeapSort {

    public static void heapSort(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        //  构建大顶堆
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            heapify(arr, n, i);
        }


        // 2. 排序
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            // 将堆顶元素（最大值）与当前堆的最后一个元素交换
            int temp = arr[0];
            arr[0] = arr[i];
            arr[i] = temp;

            // 对新的堆顶元素进行堆化操作
            heapify(arr, i, 0);
        }
    }



    //堆化操作
    public static void heapify(int[] arr,int n,int i){
        int max = i; // 初始化最大值为当前节点
        int left = 2 * i + 1; // 左子节点
        int right = 2 * i + 2; // 右子节点

        // 如果左子节点大于当前最大值，则更新最大值
        if (left < n && arr[left] > arr[max]) {
            max = left;
        }

        // 如果右子节点大于当前最大值，则更新最大值
        if (right < n && arr[right] > arr[max]) {
            max = right;
        }

        // 如果最大值不是当前节点，则交换并继续堆化
        if (max != i) {
            int swap = arr[i];
            arr[i] = arr[max];
            arr[max] = swap;

            // 递归地对子树进行堆化
            heapify(arr, n, max);
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {8, 10, 7, 4, 6, 2, 5, 1};
        heapSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

堆排序特性

• 时间复杂度为$O(nlogn)$、非自适应排序

建堆操作适用时间O(n),从堆中提取最大元素时间O(logn),共n-1轮。

• 空间复杂度为O(1)、原地排序

元素堆化和堆操作都是在原数组上进行的。

• 非稳定排序

在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生了改变。

优缺点

1. 优点

• 时间复杂度较低，适合大规模数据排序。

• 原地排序，不需要额外的存储空间。

2. 缺点

• 不稳定排序算法（相同元素的相对顺序可能改变）。

• 对于小规模数据，性能不如插入排序等简单算法。

总结

堆排序是一种高效的排序算法，尤其适用于需要原地排序的场景。它的时间复杂度为O(nlogn)，并且不需要额外的存储空间。堆排序的核心在于堆化操作，通过维护堆的性质来实现排序。