探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【八】QAM 调制 / 解调

本博客为系列博客，主要讲解各基带算法的原理与应用，包括：viterbi解码、Turbo编解码、Polar编解码、CORDIC算法、CRC校验、FFT/DFT、QAMtiaozhi/解调、QPSK调制/解调。其他博客链接如下：

1. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【一】引言
2. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【二】Viterbi解码
3. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【三】Turbo 编解码
4. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【四】Polar 编解码（一）
5. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【四】Polar 编解码（二）
6. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【五】CORDIC算法
7. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【六】CRC 校验
8. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【七】FFT/DFT
9. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【八】QAM 调制 / 解调
10. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【九】QPSK调制/解调
11. 探秘基带算法：从原理到5G时代的通信变革【十】基带算法应用与对比

2.7 QAM 调制 / 解调

2.7.1 概述

正交幅度调制（Quadrature Amplitude Modulation，QAM）是一种在两个正交载波上进行幅度调制的调制方式。这两个载波通常是相位差为90度（π/2）的正弦波，因此被称作正交载波。这种调制方式因此而得名。

同其它调制方式类似，QAM通过载波某些参数的变化传输信息。在QAM中，数据信号由相互正交的两个载波的幅度变化表示。模拟信号的相位调制和数字信号的PSK可以被认为是幅度不变、仅有相位变化的特殊的正交幅度调制。由此，模拟信号频率调制和数字信号FSK也可以被认为是相位调制（PSK）的特例，因为它们本质上就是相位调制。这里主要讨论数字信号的QAM，虽然模拟信号QAM也有很多应用，例如NTSC和PAL制式的电视系统就利用正交的载波传输不同的颜色分量。

2.7.2 星座图

类似于其他数字调制方式，QAM发射信号集可以用星座图方便地表示。星座图上每一个星座点对应发射信号集中的一个信号。设正交幅度调制的发射信号集大小为$N$，称之为N-QAM。星座点经常采用水平和垂直方向等间距的正方网格配置，当然也有其他的配置方式。数字通信中数据常采用二进制表示，这种情况下星座点的个数一般是2的幂。常见的QAM形式有16-QAM、64-QAM、256-QAM，以及未来5G采用之512－QAM及1024－QAM。星座点数越多，每个符号能传输的信息量就越大。但是，如果在星座图的平均能量保持不变的情况下增加星座点，会使星座点之间的距离变小，进而导致误码率上升。因此高阶星座图的可靠性比低阶要差。

图：不同阶数的QAM星座图对比。

在通信系统中，信号矢量端点的分布图被称为星座图。星座图可以看作是数字信号的一个二维眼图阵列，其中每个符号在图中的位置具有明确的限制或判决边界。通过观察星座图，不仅可以评估信号质量（例如，接收符号点越接近理想位置，信号质量越高），还可以分析和确定系统或信道中的缺陷和畸变。例如，可以通过星座图发现幅度噪声、相位噪声、相位误差以及调制误差比等问题。

星座图的结构与性能

对于不同的调制方式，星座图的形状可以有多种，如圆形、三角形、矩形、六角形等。如下图所示，以16QAM为例，其方形星座图、圆形星座图和16PSK信号的星座图展示了不同结构下的信号分布特性。当进制数$M$相同时，星座图的结构会影响信号点之间的最小距离，从而影响误码性能。通常情况下，最小距离越大，误码性能越好。例如，当各信号点之间的最小距离相同时，方形16QAM星座图的平均功率比星形结构小1.5dB，比16PSK小2.55dB。

在16QAM中，每个符号携带4bit信息，对应于星座图中的一个信号点。这个信号点的位置由载波的幅度和相位共同决定。具体来说，横坐标和纵坐标分别对应于基带信号$g_1(t)$和$g_2(t)$，它们分别需要用2bit二进制数据表示。因此，整个星座图中的每个信号点可以用4bit二进制数据唯一标识。

发射端的信息编码与接收端的解码

发射端的信息编码过程涉及将输入的4bit二进制数据映射到星座图中的横坐标和纵坐标，然后按照调制器结构进行调制。接收端则需要完成相反的过程：首先通过相干解调恢复出正交两路的基带波形，再根据判决规则还原成原始的二进制数据。

然而，在实际应用中存在两个关键问题：

1. 四相相位模糊问题：由于QAM通常采用相干解调，接收端恢复相干载波时可能会出现四相相位模糊（即相差$\pi /2$、$\pi$或$3\pi /2$）。这会导致接收符号点旋转到错误的位置。
2. 多电平信号检测问题：为了提高误码性能，在对多电平信号进行检测并恢复成二进制码时，通常使用格雷码编码技术。相比自然码，格雷码能够减少相邻符号之间的误码扩散。

为了解决这些问题，差分编码被引入到QAM系统中。

四相相位模糊问题的通俗解释与举例说明

在正交振幅调制（QAM）系统中，接收端通常采用相干解调来恢复发送的信号。然而，在实际操作中，接收端恢复出的相干载波可能会出现相位偏差，这种偏差通常表现为四相相位模糊，即相差$\pi /2$、$\pi$或$3\pi /2$。这会导致接收符号点在星座图上旋转到错误的位置，从而影响解调性能。下面我们通过通俗的语言和具体例子来解释这一现象。

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1. 什么是四相相位模糊？

相干解调需要接收端生成一个与发送端完全同步的载波（即频率和相位一致）。但在实际应用中，由于各种原因（如载波恢复算法的局限性），接收端恢复出的载波可能会存在相位误差。这种误差通常以$\pi /2$的整数倍形式出现，即可能出现以下四种情况：

• 相位误差为$0$：载波完全同步，解调正常。
• 相位误差为$\pi /2$：接收符号点顺时针或逆时针旋转$90^{\circ }$。
• 相位误差为$\pi$：接收符号点旋转$180^{\circ }$。
• 相位误差为$3\pi /2$：接收符号点顺时针或逆时针旋转$270^{\circ }$。

由于这些相位误差是$\pi /2$的整数倍，因此称为四相相位模糊。

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2. 为什么会出现四相相位模糊？

四相相位模糊的根本原因是载波恢复过程中无法唯一确定载波的相位。例如，假设发送端的载波相位为$\theta =0$，而接收端恢复出的载波相位可能是$\theta +n\pi /2$（其中$n$为整数）。这种不确定性导致接收符号点在星座图上的位置发生旋转。

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3. 四相相位模糊的影响

四相相位模糊会导致接收符号点在星座图上旋转到错误的位置，从而引发误码。例如：

• 如果接收符号点原本位于星座图的第一象限，但因相位误差旋转到第二象限，则接收端会错误地解调出不同的二进制数据。
• 这种错误可能进一步传播到后续的数据处理阶段，导致整体通信质量下降。

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4. 举例说明

假设我们使用16-QAM调制方式，其星座图如下所示：

象限	符号点坐标	对应二进制数据
第一象限	$(+1,+1)$	00
第二象限	$(-1,+1)$	01
第三象限	$(-1,-1)$	11
第四象限	$(+1,-1)$	10

情况1：无相位误差

如果发送的符号点为$(+1,+1)$，对应二进制数据 00，且接收端载波完全同步，则接收符号点正确地落在第一象限，解调结果为 00。

情况2：相位误差为$\pi /2$

如果接收端载波相位比发送端多出$\pi /2$，则接收符号点会顺时针旋转$90^{\circ }$。原本位于第一象限的符号点$(+1,+1)$将旋转到第四象限，变为$(+1,-1)$。此时，接收端会错误地解调出二进制数据 10。

情况3：相位误差为$\pi$

如果接收端载波相位比发送端多出$\pi$，则接收符号点会旋转$180^{\circ }$。原本位于第一象限的符号点$(+1,+1)$将旋转到第三象限，变为$(-1,-1)$。此时，接收端会错误地解调出二进制数据 11。

情况4：相位误差为$3\pi /2$

如果接收端载波相位比发送端多出$3\pi /2$，则接收符号点会顺时针旋转$270^{\circ }$。原本位于第一象限的符号点$(+1,+1)$将旋转到第二象限，变为$(-1,+1)$。此时，接收端会错误地解调出二进制数据 01。

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5. 如何解决四相相位模糊问题？

为了解决四相相位模糊问题，通常采用以下方法：

1. 差分编码：
   差分编码通过对相邻符号之间的相对变化进行编码，避免了对绝对相位的依赖。即使出现相位模糊，接收端仍然可以通过比较符号间的相对关系正确解调。

2. 训练序列：
   在传输开始时发送一段已知的训练序列，接收端利用该序列调整载波相位，消除相位模糊。

3. 格雷码映射：
   使用格雷码对星座图中的符号点进行编码，使得相邻符号点之间仅有一位二进制数据不同。即使发生符号点误判，误码扩散的影响也会被最小化。

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6. 总结

四相相位模糊是QAM系统中常见的问题，其本质是接收端载波相位恢复不准确导致的符号点旋转。这种旋转会引发误码，从而降低通信系统的性能。通过差分编码、训练序列或格雷码映射等技术，可以有效缓解四相相位模糊带来的影响，提高系统的可靠性。

差分编码的分类与实现

差分编码可以分为全部差分编码和部分差分编码两种类型。全部差分编码是指将表示每个符号的所有二进制序列均进行差分编码。这种方法虽然能完全消除相位模糊问题，但其实现复杂度较高，尤其是在高阶QAM系统中资源消耗较大。而部分差分编码仅对每个符号的前两个比特进行差分编码，用于规定信号所处的象限，从而克服相干解调带来的四相模糊问题。剩余的比特则用来规定每个象限中信号矢量的具体位置。这种方式不仅减少了资源消耗，还降低了因差分编码带来的误码扩散。

差分编码的模4格雷加法器公式

差分编码的核心在于模4格雷加法器的实现。以下是具体的公式：

对于差分编码：
$$I_k=[(\overline{A_k\oplus B_k})\cdot (A_k\oplus I_{k-1})]\oplus [(A_k\oplus B_k)\cdot (A_k\oplus Q_{k-1})]$$

$$Q_k=[(\overline{A_k\oplus B_k})\cdot (A_k\oplus Q_{k-1})]\oplus [(A_k\oplus B_k)\cdot (A_k\oplus I_{k-1})]$$

对于逆差分编码：
$$A_k=[(\overline{I_k\oplus Q_k})\cdot (I_k\oplus Q_{k-1})]\oplus [(I_k\oplus Q_k)\cdot (I_k\oplus I_{k-1})]$$

$$B_k=[(\overline{I_k\oplus Q_k})\cdot (Q_k\oplus I_{k-1})]\oplus [(I_k\oplus Q_k)\cdot (Q_k\oplus Q_{k-1})]$$

其中，$A_k$、$B_k$为差分编码前的数据，$I_k$、$Q_k$为差分编码后的数据，$\oplus$表示模2加（逻辑异或）。

16QAM星座图与映射关系

以下是一个具有旋转关系的16QAM星座图示例。

横坐标和纵坐标的取值分别为$\pm 1$、$\pm 3$，每种坐标值用3bit二进制表示。具体映射关系如下表所示：

结合上述差分编码公式和星座图映射关系，可以得出输入的4bit二进制数据与QAM调制系统中$I$、$Q$支路（即$g_1(t)$、$g_2(t)$）的映射关系。这种映射关系确保了信号的正确生成和解调，同时最大限度地提高了系统的抗噪能力和可靠性。

解释一下这个表：比如输入数据ABCD为0110，首先根据AB=01确定象限在第二象限，然后根据CD=10找到对应的点，如下图所示，可知该点坐标为（-1，3），因此，I = -1 = 111，Q = 3 = 011。

2.7.3 信号表达式

M-QAM信号波形的表达式为：

$$s_m(t)=\text{Re}\left[(A_{mc}+j{A}_{ms})g(t)e^{j2\pi f_{c}t}\right]$$

其中：

• $A_{mc}$和$A_{ms}$分别表示同相分量和正交分量的幅度。
• $g(t)$是码元信号脉冲，用于限定信号的时间范围。
• $f_c$是载波频率。
• $\text{Re}[\cdot ]$表示取复数的实部。

展开上述公式后，可以得到：

$$s_m(t)=A_{mc}g(t)\cos (2\pi f_{c}t)-A_{ms}g(t)\sin (2\pi f_{c}t)$$

这表明，M-QAM信号可以分解为两个正交分量：一个是在$\cos (2\pi f_{c}t)$上的幅度调制（PAM），另一个是在$\sin (2\pi f_{c}t)$上的幅度调制。

正交振幅调制的基本原理与系统分析

正交振幅调制（Quadrature Amplitude Modulation, QAM）是一种高效的数字调制技术，其核心思想是利用已调信号在相同带宽内的频谱正交性来实现两路并行的数据信息传输。这种调制方式的信道频带利用率与单边带调制（Single Sideband Modulation, SSB）相同，因此被广泛应用于高速数据传输系统中。

QAM系统的组成框图中，$g_1(t)$和$g_2(t)$是两个独立的带宽受限的基带波形，分别代表同相分量和正交分量。这两个基带信号分别与两个相互正交的载波$\cos ({\omega }_{c}t)$和$\sin ({\omega }_{c}t)$相乘后叠加，形成最终的调制信号：
$$s(t)=g_1(t)\cos ({\omega }_{c}t)+g_2(t)\sin ({\omega }_{c}t)$$
这里，${\omega }_c$表示载波角频率。

假设信道具有理想传输特性，则解调器输入端接收到的信号仍然是$s(t)$。接收端通过产生与发送端完全相同的相干载波进行解调。具体来说，解调过程分为两路：一路使用$\cos ({\omega }_{c}t)$作为本地载波，另一路使用$\sin ({\omega }_{c}t)$。这两路解调器的输出分别为：
$$m_1(t)=[g_1(t)\cos ({\omega }_{c}t)+g_2(t)\sin ({\omega }_{c}t)]\cos ({\omega }_{c}t)$$
展开后可以得到：
$$m_1(t)=\frac{1}{2}{g}_1(t)+\frac{1}{2}[g_1(t)\cos (2{\omega }_{c}t)+g_2(t)\sin (2{\omega }_{c}t)]$$
类似地，另一路解调器的输出为：
$$m_2(t)=[g_1(t)\cos ({\omega }_{c}t)+g_2(t)\sin ({\omega }_{c}t)]\sin ({\omega }_{c}t)$$
展开后可以得到：
$$m_2(t)=\frac{1}{2}{g}_2(t)+\frac{1}{2}[g_1(t)\sin (2{\omega }_{c}t)-g_2(t)\cos (2{\omega }_{c}t)]$$
经过低通滤波器处理后，高频分量被滤除，最终得到恢复的基带信号：
$$g_1^{\prime }(t)=\frac{1}{2}{g}_1(t),g_2^{\prime }(t)=\frac{1}{2}{g}_2(t)$$
这表明，通过正交振幅调制和解调过程，基带信号能够无失真地完成传输。

相位误差对QAM性能的影响

在实际应用中，接收端恢复出的相干载波可能与发送端的载波存在一定的相位误差$\Delta \phi$。这种相位误差会对解调性能造成显著影响。具体来说，当相位误差存在时，单个解调支路的期望信号分量功率会减少${\cos }^2(\Delta \phi )$，同时在同相和正交分量之间还会引入交互干扰。由于同相及正交两支路信号的平均功率电平相似，即使是一个较小的相位误差也会导致性能大幅下降。因此，QAM信号对接收端恢复出的相干载波信号的相位稳态误差要求比其他调制方式更高。

相位误差对QAM解调的影响通俗解释

在正交振幅调制（QAM）系统中，接收端需要通过恢复出的相干载波与接收到的信号进行解调，以提取原始基带信号。然而，如果接收端恢复出的载波与发送端的载波之间存在相位误差$\Delta \phi$，这将导致两个主要问题：期望信号分量功率减少和同相与正交分量之间的交互干扰。以下通过通俗的语言和具体例子来解释这一现象。

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1. 期望信号分量功率减少

在理想情况下，接收端的相干载波与发送端完全同步，解调后可以无失真地恢复出原始基带信号。然而，当存在相位误差时，解调过程中用于提取信号的部分能量会损失掉。

举例说明：

假设发送端发送了一个简单的QAM信号，其同相分量为$g_1(t)=1$，正交分量为$g_2(t)=0$。这意味着信号只存在于同相支路中，而正交支路没有信号。

• 理想情况：如果没有相位误差，接收端的解调输出可以直接恢复出$g_1(t)$，即同相支路的功率为1。

• 存在相位误差：如果接收端的载波与发送端载波之间存在相位误差$\Delta \phi$，则解调后的同相支路输出会变为：
  $$m_1(t)=g_1(t)\cos (\Delta \phi )$$
  这里，$\cos (\Delta \phi )$是一个小于1的值，表示信号的能量因相位误差而减少。信号功率是信号幅度的平方，因此实际接收到的信号功率变为：
  $$P_{\text{received}}=[g_1(t)\cos (\Delta \phi ){]}^2=g_1^2(t){\cos }^2(\Delta \phi )$$
  由于$g_1(t)=1$，我们可以简化为：
  $$P_{\text{received}}={\cos }^2(\Delta \phi )$$

  这表明，随着相位误差$\Delta \phi$的增大，接收到的信号功率会迅速减少。例如，当$\Delta \phi =30^{\circ }$时，${\cos }^2(30^{\circ })=(\sqrt{3}/2{)}^2=0.75$，意味着只有75%的原始信号功率被正确恢复，其余25%的能量丢失。

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2. 同相与正交分量之间的交互干扰

除了信号功率减少外，相位误差还会导致同相分量和正交分量之间的“串扰”，即原本属于同相支路的信号部分泄漏到正交支路，反之亦然。

举例说明：

继续上面的例子，假设发送端的信号仍然为$g_1(t)=1$、$g_2(t)=0$，即信号仅存在于同相支路中。但在接收端，由于相位误差$\Delta \phi$的存在，解调后的两路输出分别为：

• 同相支路输出：
  $$m_1(t)=g_1(t)\cos (\Delta \phi )+g_2(t)\sin (\Delta \phi )$$
  代入$g_1(t)=1$、$g_2(t)=0$，得到：
  $$m_1(t)=\cos (\Delta \phi )$$

• 正交支路输出：
  $$m_2(t)=-g_1(t)\sin (\Delta \phi )+g_2(t)\cos (\Delta \phi )$$
  代入$g_1(t)=1$、$g_2(t)=0$，得到：
  $$m_2(t)=-\sin (\Delta \phi )$$

从结果可以看出，尽管发送端完全没有正交分量（$g_2(t)=0$），但由于相位误差，一部分信号泄漏到了正交支路中，表现为$m_2(t)=-\sin (\Delta \phi )$。这种泄漏就是所谓的“交互干扰”。

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3. 综合影响

相位误差同时导致了两个问题：一是期望信号分量功率减少，二是同相与正交分量之间的交互干扰。这两个问题共同作用，使得解调后的信号质量下降，最终可能导致误码率上升。

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• 总结

相位误差对QAM解调的影响可以简单概括为两点：

1. 信号功率减少：由于相位误差，解调后的信号功率会按${\cos }^2(\Delta \phi )$的比例减少。
2. 交互干扰：相位误差会导致同相和正交分量之间的信号泄漏，使得原本独立的两路信号相互干扰。

为了降低这些影响，实际通信系统通常采用高精度的载波恢复技术，确保接收端的相干载波与发送端尽可能同步。

多电平正交振幅调制

对于QAM调制方式而言，若输入的基带信号为多电平时，即可构成多电平正交振幅调制。例如，当基带信号取两种电平（如$\pm 1$）时，QAM信号正好与四相相移键控（Quadrature Phase Shift Keying, QPSK）调制信号完全相同。然而，在实际工程应用中，为了获得更高的频带利用率，通常采用更高阶的QAM调制方式，如16QAM、64QAM、256QAM等。

QAM与QPSK的关系：通俗解释及举例说明

在数字通信中，正交振幅调制（Quadrature Amplitude Modulation, QAM）和四相相移键控（Quadrature Phase Shift Keying, QPSK）是两种常见的调制方式。当基带信号取两种电平（如$\pm 1$）时，QAM信号正好与QPSK调制信号完全相同。下面我们通过通俗的语言和具体例子来解释这一现象。

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1. QAM的基本原理

QAM是一种将两路独立的基带信号分别调制到两个相互正交的载波上的调制方式。其基本形式可以表示为：
$$s(t)=g_1(t)\cos ({\omega }_{c}t)+g_2(t)\sin ({\omega }_{c}t)$$
其中：

• $g_1(t)$和$g_2(t)$是两个独立的基带信号。
• $\cos ({\omega }_{c}t)$和$\sin ({\omega }_{c}t)$是两个相互正交的载波。

每个符号携带的信息由$g_1(t)$和$g_2(t)$的取值共同决定。如果基带信号的取值范围有限，则可以通过星座图直观地表示所有可能的符号状态。

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2. QPSK的基本原理

QPSK是一种相位调制方式，其特点是通过改变载波的相位来传递信息。QPSK的信号形式也可以写成：
$$s(t)=A\cos ({\omega }_{c}t+\theta )$$
其中，$\theta$表示载波的相位，通常取四个离散值（0°、90°、180°、270°），对应于四个不同的符号状态。

从数学上看，QPSK信号也可以分解为两个正交分量：
$$s(t)=I\cos ({\omega }_{c}t)-Q\sin ({\omega }_{c}t)$$
这里，$I$和$Q$分别表示同相分量和正交分量，它们的取值决定了载波的相位。

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3. QAM与QPSK的等价性

当基带信号$g_1(t)$和$g_2(t)$只能取两种电平（如$\pm 1$）时，QAM信号的星座图会变成一个简单的二维平面图，包含四个点，分别位于$(1,1)$、$(1,-1)$、$(-1,1)$和$(-1,-1)$。这四个点正好对应于QPSK信号的四个相位状态（0°、90°、180°、270°）。

具体推导：

假设$g_1(t)$和$g_2(t)$只能取$\pm 1$，则QAM信号可以表示为：
$$s(t)=g_1(t)\cos ({\omega }_{c}t)+g_2(t)\sin ({\omega }_{c}t)$$
根据$g_1(t)$和$g_2(t)$的不同组合，我们可以得到以下四种情况：

1. 当$g_1(t)=1$且$g_2(t)=1$时：
   $$s(t)=\cos ({\omega }_{c}t)+\sin ({\omega }_{c}t)=\sqrt{2}\cos ({\omega }_{c}t-45^{\circ })$$
   对应于相位$45^{\circ }$。

2. 当$g_1(t)=1$且$g_2(t)=-1$时：
   $$s(t)=\cos ({\omega }_{c}t)-\sin ({\omega }_{c}t)=\sqrt{2}\cos ({\omega }_{c}t+45^{\circ })$$
   对应于相位$135^{\circ }$。

3. 当$g_1(t)=-1$且$g_2(t)=1$时：
   $$s(t)=-\cos ({\omega }_{c}t)+\sin ({\omega }_{c}t)=\sqrt{2}\cos ({\omega }_{c}t-135^{\circ })$$
   对应于相位$-45^{\circ }$或$315^{\circ }$。

4. 当$g_1(t)=-1$且$g_2(t)=-1$时：
   $$s(t)=-\cos ({\omega }_{c}t)-\sin ({\omega }_{c}t)=\sqrt{2}\cos ({\omega }_{c}t+135^{\circ })$$
   对应于相位$225^{\circ }$。

这四种情况正好对应于QPSK信号的四个相位状态。

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4. 举例说明

假设我们使用QAM和QPSK传输二进制数据流 00、01、10 和 11。以下是具体的映射关系：

数据	QAM 映射 ($g_1(t),g_2(t)$)	QPSK 相位
00	$(1,1)$	$45^{\circ }$
01	$(1,-1)$	$135^{\circ }$
10	$(-1,1)$	$-45^{\circ }$或$315^{\circ }$
11	$(-1,-1)$	$225^{\circ }$

可以看到，QAM和QPSK的映射关系完全一致。因此，在这种情况下，QAM信号与QPSK信号是等价的。

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5. 总结

当基带信号取两种电平（如$\pm 1$）时，QAM信号的星座图退化为四个点，这与QPSK信号的四个相位状态完全一致。换句话说，此时的QAM信号实际上就是QPSK信号。这种等价性使得QPSK可以看作是QAM的一种特殊情况，同时也表明这两种调制方式在本质上具有相似的数学结构。

以16QAM为例，其基带信号可以取4种不同的电平值，从而在一个符号内传输4比特信息。类似地，64QAM的基带信号可以取8种电平值，每个符号传输6比特信息。高阶QAM调制方式能够在相同的带宽下传输更多的数据，但同时也增加了对信噪比的要求，因为星座点之间的距离变得更小，误码率随之上升。

通过对比QAM信号与时域表达式类似的QPSK调制信号可以看出，QAM信号的核心优势在于其可以通过调整基带信号的幅度和相位来进一步提升频谱效率。这种灵活性使得QAM成为现代通信系统中的关键技术之一。

2.7.4 QAM的分解形式

根据上述表达式，M-QAM信号可以进一步分解为两个正交载波上的调制信号叠加。具体来说：

1. M1-PAM与M2-PAM的叠加
   如果我们将$A_{mc}$和$A_{ms}$分别看作是两个独立的幅度值，则M-QAM信号可以表示为：
   $$s_m(t)=A_{mc}g(t)\cos (2\pi f_{c}t)-A_{ms}g(t)\sin (2\pi f_{c}t)$$
   这里，$A_{mc}$对应于同相分量（In-phase component），$A_{ms}$对应于正交分量（Quadrature component）。因此，M-QAM可以看作是两个独立的PAM信号的叠加，其中一个在$\cos (2\pi f_{c}t)$上，另一个在$\sin (2\pi f_{c}t)$上。假设这两个PAM信号的星座点数分别为$M_1$和$M_2$，则有：
   $$M_1\cdot M_2=M$$

2. M1-PAM与M2-PSK的叠加
   对$s_m(t)$进行变形，可以将其写成极坐标形式：
   $$s_m(t)=\text{Re}\left[V_m{e}^{j{\theta }_m}g(t)e^{j2\pi f_{c}t}\right]$$
   其中：
   $$V_m=\sqrt{A_{mc}^2+A_{ms}^2},{\theta }_m=\arctan \left(\frac{A_{ms}}{A_{mc}}\right)$$
   展开后可得：
   $$s_m(t)=V_{m}g(t)\cos (2\pi f_{c}t+{\theta }_m)$$
   这表明，M-QAM还可以看作是一个幅度调制（PAM）和一个相位调制（PSK）的叠加。具体来说，$V_m$表示幅度信息，${\theta }_m$表示相位信息。假设幅度部分的星座点数为$M_1$，相位部分的星座点数为$M_2$，则同样满足：
   $$M_1\cdot M_2=M$$

2.7.5 物理意义与实现细节

1. 星座图的几何解释
   在QAM的星座图中，每个点代表一个特定的符号，该符号由幅度和相位共同决定。例如，在16-QAM中，星座图由4×4个点组成，每个点对应于不同的$A_{mc}$和$A_{ms}$组合。高阶QAM（如64-QAM、256-QAM）通过增加星座点数来提高数据传输速率，但代价是降低了抗噪声能力。

2. 解调过程
   接收端通过以下步骤解调QAM信号：

   • 将接收到的信号分解为同相分量和正交分量。
   • 分别对这两个分量进行低通滤波，提取出$A_{mc}$和$A_{ms}$。
   • 根据$A_{mc}$和$A_{ms}$确定星座图上的位置，从而恢复原始数据。

3. 复杂性分析
   相较于单纯的PSK调制，QAM需要同时检测幅度和相位信息，因此其解调器的设计更为复杂。然而，由于QAM能够在相同的带宽内传输更多的信息，它在高速通信系统中具有显著优势。

2.7.6 数字通信中错误率与信噪比的关系

在数字通信领域，错误率，包括误符号率（Symbol Error Rate,$P_s$）和误比特率（Bit Error Rate,$P_b$）是衡量调制和解调方式性能的重要指标。这些错误率通常通过分析信号在加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise, AWGN）信道下的表现来确定。以下将详细解释这些概念及其公式推导。

首先，我们需要定义几个关键参数以描述系统的性能：

• $M$：星座点的个数，表示调制方式的阶数（例如，16-QAM中$M=16$）。

• $E_b$：平均比特能量，即每个比特所携带的能量。

• $E_s$：平均符号能量，可以通过公式$E_s=E_b\cdot {\log }_{2}M$计算得到。

• $N_0$：噪声功率谱密度，表示单位带宽内的噪声功率。

• $P_b$：误比特率，表示传输过程中每比特出错的概率。

• $P_{bc}$：每个正交载波上的误比特率。

• $P_s$：误符号率，表示每个符号出错的概率。

• $P_{sc}$：每个正交载波上的误符号率。

• $Q(x)$：高斯尾概率函数，用于描述零均值、单位方差的高斯随机变量$t$大于$x$的概率。其定义为：
  $$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt$$
  它与高斯误差补函数（Complementary Error Function,$\text{erfc}(x)$）的关系为：
  $$Q(x)=\frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right),x\ge 0$$

2.7.7 矩形QAM的误码率性能分析

矩形正交幅度调制（Rectangular QAM）是一种广泛应用于现代数字通信系统中的调制技术。其星座图呈矩形网格配置，这种结构使得信号的生成和解调相对简单，但同时也意味着信号之间的最小欧几里得距离并非最优，因此其误码率性能略逊于非矩形QAM。然而，由于其实现复杂度较低，矩形QAM在实际应用中仍然占据重要地位。

偶数- $k$QAM的误码率性能分析

对于偶数- $k$QAM（如16-QAM、64-QAM等），其星座图可以分解为两个正交载波上的脉冲幅度调制（PAM）。假设$M$-QAM可以分解为两个正交的$\sqrt{M}$-PAM，则可以通过单个正交载波上PAM的性能来近似得到整个QAM的误码率性能。

• 误符号率的计算

首先，考虑每个正交载波上的误符号率$P_{sc}$。根据理论推导，可以得到：
$$P_{sc}=P_{\sqrt{M}\text{-PAM}}=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3}{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$$
这里，$Q(x)$是高斯尾概率函数，定义为：
$$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt$$
然后，整个$M$-QAM的误符号率$P_s$可以通过以下公式计算：
$$P_s=1-(1-P_{sc}{)}^2$$
这是因为两个正交载波上的错误事件是独立的，只有当两个载波都没有错误时，整个符号才正确。

• 误比特率的计算

误比特率$P_b$取决于比特与符号之间的映射关系。如果使用格雷码（Gray Code）进行bit配置，并且每个载波承载相同比特数，则相邻两个符号之间仅相差一个比特。在这种情况下，误比特率可以表示为：
$$P_{bc}=\frac{4}{k}\left(1-\frac{1}{\sqrt{M}}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3k}{M-1}\frac{E_b}{N_0}}\right)$$
其中$k={\log }_{2}M$表示每个符号所携带的比特数。由于两个正交载波相互独立，最终的误比特率$P_b$等于单个载波上的误比特率$P_{bc}$，即：
$$P_b=P_{bc}$$

奇数- $k$QAM的误码率性能分析

对于奇数- $k$QAM（如8-QAM），其误码率性能的计算要复杂得多。由于星座点的分布不对称，无法简单地将其分解为两个正交载波上的PAM。一个常见的近似上限为：
$$P_s\le 4Q\left(\sqrt{\frac{3k{E}_b}{(M-1)N_0}}\right)$$
其中$M$是星座点的总数，$k={\log }_{2}M$。精确的误比特率$P_b$需要根据比特的具体排列方式来计算。

例如，在8-QAM中，每个符号携带3比特信息。如果使用格雷码映射，则相邻符号之间仅相差一个比特，这有助于降低误比特率。然而，由于星座点的几何分布较复杂，具体的误码率计算通常需要借助仿真工具或更复杂的数学方法。

2.7.8 非矩形QAM的原理与特性分析

非矩形正交幅度调制（Quadrature Amplitude Modulation, QAM）是QAM的一种变体，其星座点的排列方式不同于传统的矩形网格配置。非矩形QAM通过优化星座点的几何分布来提高误码率性能或降低平均能量需求。尽管其实现复杂度较高，但在某些特定应用场景中，非矩形QAM具有显著优势。

环状QAM的特性与优势

环状QAM是一种典型的非矩形QAM，其星座点分布在以原点为中心的一个或多个同心圆上。例如，环状8-QAM被认为是最佳的8-QAM配置，因为它能够在保持最小欧几里得距离的同时使用最低的平均能量。这种配置使得环状8-QAM在相同的误码率要求下，比矩形8-QAM需要更低的信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）。然而，对于更高阶的QAM（如16-QAM），环状配置可能不再是最佳选择，因为增加的星座点数量会导致几何优化变得更加复杂，从而使其成为亚优化方案。

环状QAM清晰地展示了QAM与相移键控（Phase Shift Keying, PSK）之间的关系。事实上，PSK可以看作是所有星座点位于同一圆周上的特殊形式的QAM。因此，环状QAM可以被视为介于传统矩形QAM和PSK之间的一种折中方案。

不规则QAM的误码率分析

不规则QAM的星座点分布并不遵循固定的几何规则，而是根据具体应用需求进行优化设计。由于每种不规则QAM的星座点排列方式各不相同，因此很难给出一个通用的误码率公式。然而，可以通过欧几里得距离的定义给出一个明显的误码率上限：
$$P_s<(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{d_{\text{min}}^2}{2N_0}}\right)$$
其中：

• $M$是星座点的总数。
• $d_{\text{min}}$是星座图中任意两点之间的最小欧几里得距离。
• $N_0$是噪声功率谱密度。
• $Q(x)$是高斯尾概率函数，表示零均值、单位方差的高斯随机变量大于$x$的概率。

这个公式表明，误符号率与最小欧几里得距离$d_{\text{min}}$密切相关。较大的$d_{\text{min}}$意味着更高的抗噪声能力，但通常会以牺牲平均能量为代价。

此外，误码率还与比特的排列方式有关。例如，在格雷码（Gray Code）映射下，相邻星座点之间仅相差一个比特，这有助于降低误比特率。然而，对于不规则QAM，最优的比特排列方式可能需要通过仿真或优化算法来确定。

• 规则QAM与非规则QAM的选择

尽管对于特定的$M$值存在理论上最佳的不规则QAM配置，但在实际应用中，人们通常更倾向于使用规则QAM（如矩形QAM）。这是因为规则QAM的调制和解调过程更为简单，硬件实现成本较低。例如，矩形QAM可以分解为两个正交载波上的脉冲幅度调制（Pulse Amplitude Modulation, PAM），这使得其解调器的设计更加直观和高效。

相比之下，非规则QAM的解调器需要同时检测信号的幅度和相位信息，且必须精确补偿星座点的几何分布差异。这种复杂性导致非规则QAM在实际应用中的普及程度远低于规则QAM。

• 星座图与传输性能的关系

类似于其他数字调制方式，QAM发射的信号集可以用星座图方便地表示。星座图上的每个点对应于一个特定的符号，该符号携带一定数量的比特信息。在二进制数据表示的情况下，星座点的数量通常是2的幂次方（如4-QAM、16-QAM、64-QAM等）。星座点越多，每个符号能传输的信息量就越大，从而提高了数据传输速率。然而，如果在保持星座图平均能量不变的情况下增加星座点数量，则会导致星座点之间的距离减小，进而增加误码率。因此，高阶QAM的可靠性通常低于低阶QAM。

2.7.9 QAM的优势与局限性

与其他调制技术相比，QAM的主要优势在于其能够充分利用信道带宽并提供较强的抗噪声能力。例如，当对数据传输速率的要求超过8-PSK所能提供的上限时，QAM通常是首选方案。这是因为在相同的误码率要求下，QAM的星座点分布比PSK更为分散，从而提供了更好的传输性能。

然而，QAM也存在一些局限性。首先，QAM的解调器需要同时正确检测信号的幅度和相位信息，而PSK解调器只需检测相位信息，因此QAM解调器的设计复杂度更高。其次，为了适应不同电话线路之间的性能差异，QAM接收器通常需要配备自适应均衡器来补偿信号失真。这种额外的复杂性使得QAM在某些应用场景中面临挑战。

参考链接：QAM信号的调制解调原理_qam调制解调-CSDN博客

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