【编程题】7-3 树的同构

1 题目原文

题目链接：7-3 树的同构

给定两棵树 $T_1$ 和 $T_2$​。如果 $T_1$ 可以通过若干次左右孩子互换就变成 $T_2$，则我们称两棵树是“同构”的。例如图 $1$ 给出的两棵树就是同构的，因为我们把其中一棵树的结点 $A、B、G$ 的左右孩子互换后，就得到另外一棵树。而图 $2$ 就不是同构的。

图1

图2

现给定两棵树，请你判断它们是否是同构的。

输入格式:

输入给出 $2$ 棵二叉树的信息。对于每棵树，首先在一行中给出一个非负整数 $n(\le 10)$，即该树的结点数（此时假设结点从 $0$ 到 $n-1$ 编号）；随后 $n$ 行，第 $i$ 行对应编号第 $i$ 个结点，给出该结点中存储的 $1$ 个英文大写字母、其左孩子结点的编号、右孩子结点的编号。如果孩子结点为空，则在相应位置上给出 “$-$”。给出的数据间用一个空格分隔。注意：题目保证每个结点中存储的字母是不同的。

输出格式:

如果两棵树是同构的，输出“Yes”，否则输出“No”。

输入样例1（对应图1）：

8
A 1 2
B 3 4
C 5 -
D - -
E 6 -
G 7 -
F - -
H - -
8
G - 4
B 7 6
F - -
A 5 1
H - -
C 0 -
D - -
E 2 -

输出样例1:

Yes

输入样例2（对应图2）：

8
B 5 7
F - -
A 0 3
C 6 -
H - -
D - -
G 4 -
E 1 -
8
D 6 -
B 5 -
E - -
H - -
C 0 2
G - 3
F - -
A 1 4

输出样例2:

No

2 思路解析

    本题考查二叉树的相关知识。由题意可以了解到，二叉树的每个结点不是必须交换左右子树。判断二叉树是否同构在本质上是判断两棵二叉树是不是“相同”的，只是这个“相同”不是左子树和左子树“相同”，右子树和右子树“相同”，而是左子树可能和左子树“相同”，也可能和右子树“相同”，右子树同理。
    将上面的“相同”替换成“同构”，于是递归思路便呼之欲出，具体如下：
        1. 判断二叉树 A 和二叉树 B 是否同构；
        2. 若 A 是空树且 B 是空树，则同构；
        3. 若一棵树是空树但另一棵树不是空树，则不同构；
        4. 若两棵树都不是空树，则同构需满足：
            4.1 当前结点的值相同；
            4.2 当前 A 结点的左子树和 B 的右子树相同且当前 A 结点的右子树和 B 的左子树相同或当前 A 结点的左子树和 B 的左子树相同且当前 A 结点的右子树和 B 的右子树相同。
    递归体现在 4.2 中。
    这道题的迭代思路和递归思路类似，甚至有点相当于将递归硬改成迭代了，意义不大，故不做记录。

3 代码实现

    需要注意的是，此题中给出的树是采用的“孩子表示法”表示的，但存储方式是顺序存储的，与一般的“二叉链表表示法”（链式存储）有所不同，这里将其“统一化”为二叉链表表示法，然后进行处理。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 二叉树结点定义
typedef struct TNode {
    char val;
    struct TNode *lc, *rc;
} TNode, Tree;

// 根据孩子表示法的数组构建二叉链表树
Tree *create_tree(char tree_arr[][3], int n, char null) {
    TNode *tn_arr[n];
    int i = 0, p[n];
    // 第一遍先创建所有结点并初始化“是否有父结点”的标志数组
    for (i = 0; i < n; i++) {
        tn_arr[i] = (TNode *)malloc(sizeof(TNode));
        tn_arr[i]->val = tree_arr[i][0];
        tn_arr[i]->lc = tn_arr[i]->rc = NULL;
        p[i] = 0;
    }
    // 第二遍将这些结点组合成树
    for (i = 0; i < n; i++) {
        if (tree_arr[i][1] != null) {
            tn_arr[i]->lc = tn_arr[tree_arr[i][1] - '0'];
            p[tree_arr[i][1] - '0'] = 1;
        }
        if (tree_arr[i][2] != null) {
            tn_arr[i]->rc = tn_arr[tree_arr[i][2] - '0'];
            p[tree_arr[i][2] - '0'] = 1;
        }
    }
    // 第三遍找出根结点并返回这棵树
    for (i = 0; i < n; i++) {
        if (!p[i]) return tn_arr[i];
    }
    return NULL;
}

// 判断两棵链式二叉树是否同构
int is_isomo(Tree *r1, Tree *r2) {
    // 两个都是空树，同构
    if (!r1 && !r2) return 1;
    // 一个是空树一个不是，不同构
    if (!r1 || !r2) return 0;
    // 两个都不是空树
    return r1->val == r2->val &&
           (is_isomo(r1->lc, r2->lc) && is_isomo(r1->rc, r2->rc) ||
            is_isomo(r1->lc, r2->rc) && is_isomo(r1->rc, r2->lc));
}

// 销毁二叉树
void destroy_tree(Tree *root) {
    if (!root) return;
    destroy_tree(root->lc);
    destroy_tree(root->rc);
    free(root);
}

int main(void) {
    // 读入数据
    int n = 0, m = 0, i = 0;
    scanf("%d", &n);
    char tree_a[n][3];
    for (i = 0; i < n; i++) {
        scanf(" %c %c %c", &tree_a[i][0], &tree_a[i][1], &tree_a[i][2]);
    }
    scanf("%d", &m);
    if (n ^ m) {
        printf("No\n");
        return 0;
    }
    char tree_b[m][3];
    for (i = 0; i < m; i++) {
        scanf(" %c %c %c", &tree_b[i][0], &tree_b[i][1], &tree_b[i][2]);
    }
    // 建树
    Tree *aa = create_tree(tree_a, n, '-');
    Tree *bb = create_tree(tree_b, m, '-');
    // 判断是否同构
    printf("%s\n", is_isomo(aa, bb) ? "Yes" : "No");
    // 销毁
    destroy_tree(aa);
    destroy_tree(bb);
    return 0;
}

4 总结

    判断二叉树的同构，其解决方法与判断二叉树是否相同类似，并且天然地可以使用递归的解法解决。关于树与二叉树的问题，如果可以用迭代解决的优先选择迭代，不过有时候迭代的思路并不好想，或者迭代的思路很复杂，那么使用递归解决就好。