雅可比矩阵与线性变换

雅可比矩阵

雅可比矩阵是一种组织偏导数的方式，帮助理解非线性函数的局部线性变化。通过计算给定函数的所有偏导数并组成矩阵，可以得到雅可比矩阵。通过计算函数在某一点处的雅可比矩阵，可以预测函数在特定点附近的变化。雅可比矩阵作为线性化工具，对理解复杂非线性函数的局部行为具有重要意义。

雅可比矩阵的计算

矩阵形式表示的多元函数的导数，每一列对函数的一个自变量求偏导。

例如对一个由$f1$和$f2$组成的矩阵求导：

得到的矩阵就是雅可比矩阵，一般用J表示（Jacobian）。

示例

可根据雅可比矩阵的定义，先求函数$f$各分量对$x$、$y$的偏导数，再将其按顺序排列成矩阵。

设$f\left(\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+\sin (y)\\ y+\sin (x)\end{array}\right]$，其中$u(x,y)=x+\sin (y)$，$v(x,y)=y+\sin (x)$。

步骤一：求$u(x,y)$对$x$、$y$的偏导数

• 对$u(x,y)$关于$x$求偏导数时，将$y$看作常数：
  根据求导公式$(X^n{)}^{\prime }=n{X}^{n-1}$，$(\sin X{)}^{\prime }=\cos X$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x+\sin (y))=1+0=1$。
• 对$u(x,y)$关于$y$求偏导数时，将$x$看作常数：
  同理可得$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(x+\sin (y))=0+\cos (y)=\cos (y)$。

步骤二：求$v(x,y)$对$x$、$y$的偏导数

• 对$v(x,y)$关于$x$求偏导数时，将$y$看作常数：
  可得$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(y+\sin (x))=0+\cos (x)=\cos (x)$。
• 对$v(x,y)$关于$y$求偏导数时，将$x$看作常数：
  可得$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(y+\sin (x))=1+0=1$。

步骤三：构建雅可比矩阵

雅可比矩阵$J$的形式为$J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right]$，将上面求得的偏导数代入可得：
$J=\left[\begin{array}{cc}1& \cos (y)\\ \cos (x)& 1\end{array}\right]$

综上，该函数的雅可比矩阵是$\left[\begin{array}{cc}1& \cos (y)\\ \cos (x)& 1\end{array}\right]$。

雅可比矩阵与线性变换

非线性变换也存在局部线性，即使函数整体变换很复杂，但是某个点附近的变换是线性的。
考虑某点附近的线性变换，则其$x$方向基向量变换如下，

同理，对$y$方向变换如下图：

对于$2\times 2$的雅可比矩阵$\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{array}\right]$ 与列向量$\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$ 相乘：

• 计算结果矩阵的第一行元素：
  用雅可比矩阵的第一行$\left[\frac{\partial f_1}{\partial x}\frac{\partial f_1}{\partial y}\right]$ 与列向量$\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$ 相乘，即$\frac{\partial f_1}{\partial x}\times dx+\frac{\partial f_1}{\partial y}\times dy$ ，得到结果矩阵第一行的元素$\frac{\partial f_1}{\partial x}dx+\frac{\partial f_1}{\partial y}dy$ 。
• 计算结果矩阵的第二行元素：
  用雅可比矩阵的第二行$\left[\frac{\partial f_2}{\partial x}\frac{\partial f_2}{\partial y}\right]$ 与列向量$\left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$ 相乘，即$\frac{\partial f_2}{\partial x}\times dx+\frac{\partial f_2}{\partial y}\times dy$ ，得到结果矩阵第二行的元素$\frac{\partial f_2}{\partial x}dx+\frac{\partial f_2}{\partial y}dy$ 。

从多元函数全微分角度看，$f_1=f_1(x,y)$ 的全微分为 $d{f}_1=\frac{\partial f_1}{\partial x}dx+\frac{\partial f_1}{\partial y}dy$ ，$f_2=f_2(x,y)$ 的全微分为 $d{f}_2=\frac{\partial f_2}{\partial x}dx+\frac{\partial f_2}{\partial y}dy$ 。那么$\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f_1}{\partial x}dx+\frac{\partial f_1}{\partial y}dy\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}dx+\frac{\partial f_2}{\partial y}dy\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}d{f}_1\\ d{f}_2\end{array}\right]$ ，表示向量值函数$\left[\begin{array}{c}{f}_1(x,y)\\ f_2(x,y)\end{array}\right]$ 的全微分向量形式，体现了函数在$x$和$y$方向微小变化$dx$、$dy$时，函数值的微小变化情况。

这个$2\times 2$的矩阵便是表示该点被放大后线性变换的样子，这个矩阵被称为雅可比矩阵。

类比线性变换，把2维映2维的多元函数表示成一种空间变换，并通过这个变换的局部线性化来解释雅可比矩阵的含义。

例如，在$(-2，1)$附近线性变换计算如下：

将$x=-2$，$y=1$代入雅可比矩阵$J$中，可得：
$J(-2,1)=\left[\begin{array}{cc}1& \cos (1)\\ \cos (-2)& 1\end{array}\right]$

综上，函数$f$在$(-2,1)$处的雅可比矩阵是$\left[\begin{array}{cc}1& \cos (1)\\ \cos (-2)& 1\end{array}\right]$，

$det(\left[\begin{array}{cc}1& \cos (1)\\ \cos (-2)& 1\end{array}\right])\approx 1.227$。

应用

雅可比矩阵在判断函数性质方面有多种应用：

• 局部可逆性：对于一个向量值函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$，若在某点 $p$ 处雅可比矩阵 $J_f(p)$ 的行列式 $\det (J_f(p))\ne 0$，则函数 $f$ 在点 $p$ 的某个邻域内是局部可逆的。比如在二维空间中，若雅可比矩阵行列式不为$0$，则在该点附近函数能进行一对一的变换，存在反函数。

• 函数的局部线性近似：雅可比矩阵 $J_f(x)$ 可用于对向量值函数 $f$ 进行局部线性近似。函数 $f$ 在点 $x_0$ 附近可近似表示为 $f(x)\approx f(x_0)+J_f(x_0)(x-x_0)$，这有助于分析函数在某点附近的变化趋势 ，类似一元函数的导数用于线性近似。

• 判断函数的增减性与极值：在多元函数求极值问题中，通过对雅可比矩阵及其二阶导数相关矩阵（海森矩阵）分析，可以判断函数是否取得极值。若雅可比矩阵在某点处为零矩阵，还需进一步分析海森矩阵的正定性等性质来确定该点是否为极值点。

• 流形上的映射性质：在研究流形之间的映射时，雅可比矩阵能反映映射的光滑性和切空间之间的线性变换关系。例如，若雅可比矩阵在某点处秩小于流形维度，则该点可能是映射的奇点。

视频参考