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一、什么是动态规划？—— 从人类直觉到算法思维
动态规划（Dynamic Programming, DP） 本质是一种通过"聪明的穷举"解决问题的思想。它的核心是发现重叠子问题和最优子结构，并通过存储中间结果避免重复计算。我们可以通过一个认知升级路线来理解它：
暴力递归 → 发现重复计算 → 记忆化搜索 → 推导状态转移 → 自底向上动态规划二、暴力递归：最直观的问题分解方式
1. 示例：斐波那契数列
// 经典递归实现
public int fib(int n) {
if (n <= 1) return n;
return fib(n-1) + fib(n-2);
}2. 递归树分析（以n=5为例）
fib(5)
/ \
fib(4) fib(3)
/ \ / \
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)
...（继续展开）...3. 问题暴露
重复计算：fib(3)计算2次，fib(2)计算3次
指数级复杂度：O(2^n) 时间复杂度，O(n) 栈空间
三、第一次优化：记忆化搜索（Memoization）
1. 核心思想
空间换时间：使用数组/HashMap存储已计算结果
剪枝优化：计算前先查询存储结构
2. 斐波那契优化实现
public int fibMemo(int n) {
int[] memo = new int[n+1];
Arrays.fill(memo, -1);
return dfs(n, memo);
}
private int dfs(int n, int[] memo) {
if (n <= 1) return n;
if (memo[n] != -1) return memo[n];
memo[n] = dfs(n-1, memo) + dfs(n-2, memo);
return memo[n];
}3. 复杂度分析
时间复杂度：O(n) —— 每个子问题只计算一次
空间复杂度：O(n) 递归栈 + O(n) 存储空间
四、第二次进化：自底向上动态规划
1. 思维转变
递归（自顶向下） → 迭代（自底向上）2. 斐波那契DP实现
public int fibDP(int n) {
if (n <= 1) return n;
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]; // 状态转移方程
}
return dp[n];
}3. 空间优化（滚动数组）
public int fibOpt(int n) {
if (n <= 1) return n;
int prev = 0, curr = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int sum = prev + curr;
prev = curr;
curr = sum;
}
return curr;
}五、经典案例：爬楼梯问题（LeetCode 70）
1. 问题描述
每次可以爬1或2个台阶，求到达第n阶的不同方法数
2. 暴力递归解法
public int climbStairs(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
}3. DP优化实现
public int climbStairsDP(int n) {
if (n <= 2) return n;
int[] dp = new int[n+1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}4. 状态转移方程推导
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
解释：到达第i阶的方法数 = 从i-1阶上1步 + 从i-2阶上2步六、高阶案例：0-1背包问题
1. 问题描述
给定物品重量w[]和价值v[]，背包容量C，求最大价值
2. 暴力递归解法
public int knapsack(int[] w, int[] v, int C) {
return dfs(w, v, w.length-1, C);
}
private int dfs(int[] w, int[] v, int index, int cap) {
if (index < 0 || cap <= 0) return 0;
// 不选当前物品
int no = dfs(w, v, index-1, cap);
// 选当前物品（前提：容量足够）
int yes = cap >= w[index] ?
dfs(w, v, index-1, cap - w[index]) + v[index] : 0;
return Math.max(no, yes);
}3. 记忆化搜索优化
public int knapsackMemo(int[] w, int[] v, int C) {
int n = w.length;
int[][] memo = new int[n][C+1];
return dfs(w, v, n-1, C, memo);
}
private int dfs(int[] w, int[] v, int index, int cap, int[][] memo) {
if (index < 0 || cap <= 0) return 0;
if (memo[index][cap] != 0) return memo[index][cap];
int no = dfs(w, v, index-1, cap, memo);
int yes = cap >= w[index] ?
dfs(w, v, index-1, cap - w[index], memo) + v[index] : 0;
memo[index][cap] = Math.max(no, yes);
return memo[index][cap];
}4. 动态规划终极形态
public int knapsackDP(int[] w, int[] v, int C) {
int n = w.length;
int[][] dp = new int[n+1][C+1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= C; j++) {
if (j < w[i-1]) {
dp[i][j] = dp[i-1][j]; // 装不下
} else {
dp[i][j] = Math.max(
dp[i-1][j],
dp[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1]
);
}
}
}
return dp[n][C];
}5. 空间压缩技巧（滚动数组）
public int knapsackOpt(int[] w, int[] v, int C) {
int[] dp = new int[C+1];
for (int i = 0; i < w.length; i++) {
for (int j = C; j >= w[i]; j--) { // 必须倒序遍历
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
}
return dp[C];
}七、动态规划解题方法论总结
1. 五步法流程
定义状态：明确dp数组的含义
推导转移方程：分析状态间的关系
初始化：设置边界条件
确定遍历顺序：保证前置状态已计算
输出结果：从dp数组中提取答案
2. 优化路线图
3. 常见问题处理技巧
边界条件处理：增加虚拟头节点（如dp[0]）
路径记录：使用额外数组保存选择路径
维度压缩：滚动数组、位运算优化
八、实战练习建议
基础练习
进阶挑战
掌握动态规划的关键在于将递归思维转化为状态转移思维。建议从简单问题入手，逐步体会"重叠子问题"的特征，最终达到看到问题就能自然拆分状态的境界。