1.二叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树
- 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
- 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
- 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
- ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义
一句话描述就是：左节点的值小于根，右节点的值大于根
如图：
这里不建议将它称作搜索二叉树，因为。。。
//二叉搜索树
BinarySearchTree //简称BSTree
//搜索二叉树
SearchBinaryTree //简称XXTree（懂得都懂）
2.二叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： logN
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)
（为避免出现最差情况，需要对二叉树进行变形）
另外，根据二叉搜索树的特性，很容易联想到二分查找，二分查找也能实现O(logN)的查找效率
但是它有两大缺点：
- 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序
- 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据
而二叉搜索树在数据插入时就已经实现了排序，并且由于使用指针指向节点的方式，删除效率也很高
3.二叉搜索树的插入
数据插入的具体过程：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点
- 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点 （要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
比如在下面这棵二叉搜索树插入一个16：
在此时若要插入16， 根节点8，不为空，并且16 > 8，向右子节点走，
节点10不为空，16 > 10，向右子节点走，
节点14不为空，16 > 14，向右子节点走，
此时走到空，在此处插入16
4.二叉搜索树的查找
- 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找
- 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在
- 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
- 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。（如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回 ）
5.⼆叉搜索树的删除
删除过程：
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩⼦均为空
- 要删除的结点N左孩⼦为空，右孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N右孩⼦为空，左孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案：
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
- ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则
举例子：
删除节点1、4、7、13，这几个节点的删除都满足情况1。可直接删除，相应的父节点对这个节点的指向为NULL
删除节点10，满足情况2。将父节点对该节点的指向改为指向其右子节点
删除节点14，满足情况3。将父节点对该节点的指向改为指向其左子节点
删除节点3、6、8，满足情况4。以删除节点8为例，其左右子节点都不为空
方法1：将左子树的最右节点7代替节点8的位置
方法2：将右子树的最左节点10代替节点8的位置
6.二叉搜索树的实现
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
//插入
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
//查找
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
//删除
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 0-1个孩⼦的情况
//删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可
if (cur->_left == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
return true;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
return true;
}
else
{
// 2个孩⼦的情况
//删除情况4，替换法删除
//假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除
//这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况
//⼀定要把cur给rightMinP，否会报错
Node* rightMinP = cur;
Node* rightMin = cur->_right;
while (rightMin->_left)
{
rightMinP = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;
}
cur->_key = rightMin->_key;
if (rightMinP->_left == rightMin)
rightMinP->_left = rightMin->_right;
else
rightMinP->_right = rightMin->_right;
delete rightMin;
return true;
}
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};7.相关容器
map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树
- map/set不⽀持插⼊相等值
- multimap/multiset⽀持插⼊相等值