三维仿射变换矩阵
三维仿射变换矩阵有 3 × 4 、 4 × 4 3\times4、4\times4 3×4、4×4两种写法，都是施加到三维点的齐次式上， 4 × 4 4\times4 4×4的仿射变换矩阵是在 3 × 4 3\times4 3×4的矩阵后追加一行 ( 0 , 0 , 0 , 1 ) (0,0,0,1) (0,0,0,1)，便于通过连续左乘计算组合变换矩阵，这里只对平移、缩放、旋转三种变换展开分析，剪切、反射这两种变换暂不展开，并且对旋转变换会做比较细致的分析。
平移变换
平移量为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)的平移变换矩阵是：
[ 1 0 0 a 0 1 0 b 0 0 1 c ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & b\\ 0 & 0 & 1 & c \end{bmatrix}
100010001abc
缩放变换
点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)变成 ( a x , b y , c z ) (ax,by,cz) (ax,by,cz)的缩放矩阵是
[ a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 ] \begin{bmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 & 0\\ 0 & 0 & c & 0 \end{bmatrix}
a000b000c000
旋转变换
绕x、y、z单个轴旋转的变换
三维点绕 x x x轴逆时针旋转 α \alpha α角的旋转变换矩阵为：
R x ( α ) = [ 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 ] R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rx(α)=
10000cosαsinα00−sinαcosα00001
三维点绕 y y y轴逆时针旋转 β \beta β角的旋转变换矩阵为：
R y ( β ) = [ cos β 0 sin β 0 0 1 0 0 − sin β 0 cos β 0 0 0 0 1 ] R_y(\beta) = \begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Ry(β)=
cosβ0−sinβ00100sinβ0cosβ00001
三维点绕 z z z轴逆时针旋转 γ \gamma γ角的旋转变换矩阵为：
R z ( γ ) = [ cos γ − sin γ 0 0 sin γ cos γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] R_z(\gamma) = \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 & 0\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz(γ)=
cosγsinγ00−sinγcosγ0000100001
因此，三维点先绕 x x x轴逆时针旋转 α \alpha α角，再绕 y y y轴逆时针旋转 β \beta β角，最后绕 z z z轴逆时针旋转 γ \gamma γ角的旋转变换矩阵为(注意顺序重要)：
R z ( γ ) R y ( β ) R x ( α ) = [ cos γ − sin γ 0 0 sin γ cos γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ cos β 0 sin β 0 0 1 0 0 − sin β 0 cos β 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 ] = [ cos β cos γ sin α sin β cos γ − sin γ cos α sin β cos α cos γ + sin α sin γ 0 cos β sin γ sin α sin β sin γ + cos α cos γ sin γ sin β cos α − sin α cos γ 0 − sin β sin α cos β cos α cos β 0 0 0 0 1 ] \begin{matrix}R_z(\gamma) R_y(\beta)R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 & 0\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} \cos\beta\cos\gamma & \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma−\sin\gamma\cos\alpha & \sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\gamma & 0\\ \cos\beta\sin\gamma & \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma & \sin\gamma\sin\beta\cos\alpha−\sin\alpha\cos\gamma & 0\\ -\sin\beta & \sin\alpha\cos\beta & \cos\alpha\cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\end{matrix} Rz(γ)Ry(β)Rx(α)=
cosγsinγ00−sinγcosγ0000100001
cosβ0−sinβ00100sinβ0cosβ00001
10000cosαsinα00−sinαcosα00001
=
cosβcosγcosβsinγ−sinβ0sinαsinβcosγ−sinγcosαsinαsinβsinγ+cosαcosγsinαcosβ0sinβcosαcosγ+sinαsinγsinγsinβcosα−sinαcosγcosαcosβ00001
详细推导可参考这篇博客
绕任意轴旋转
绕点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)且单位法向量为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)的轴旋转的变换矩阵为：
[ cos θ + a 2 ( 1 − cos θ ) a b ( 1 − cos θ ) − c sin θ a c ( 1 − cos θ ) + b sin θ ( ( 1 − a 2 ) x 0 − a ( b y 0 + c z 0 ) ) ( 1 − cos θ ) + ( c y 0 − b z 0 ) sin θ a b ( 1 − cos θ ) + c sin θ cos θ + b 2 ( 1 − cos θ ) b c ( 1 − c o s θ ) − a sin θ ( ( 1 − b 2 ) y 0 − b ( a x 0 + c z 0 ) ) ( 1 − cos θ ) + ( a z 0 − c x 0 ) sin θ a c ( 1 − cos θ ) − b sin θ b c ( 1 − cos θ ) + a sin θ cos θ + c 2 ( 1 − cos θ ) ( ( 1 − c 2 ) z 0 − c ( a x 0 + b y 0 ) ) ( 1 − cos θ ) + ( b x 0 − a y 0 ) sin θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos\theta + a^2(1-\cos\theta) & ab(1-\cos\theta)-c\sin\theta & ac(1-\cos\theta)+b\sin\theta & ((1-a^2)x_0-a(by_0+cz_0))(1-\cos\theta)+(cy_0-bz_0)\sin\theta \\ ab(1-\cos\theta)+c\sin\theta & \cos\theta+b^2(1-\cos\theta) & bc(1-cos\theta)-a\sin\theta & ((1-b^2)y_0-b(ax_0+cz_0))(1-\cos\theta)+(az_0-cx_0)\sin\theta \\ ac(1-\cos\theta)-b\sin\theta & bc(1-\cos\theta)+a\sin\theta & \cos\theta+c^2(1-\cos\theta) & ((1-c^2)z_0-c(ax_0+by_0))(1-\cos\theta)+(bx_0-ay_0)\sin\theta \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
cosθ+a2(1−cosθ)ab(1−cosθ)+csinθac(1−cosθ)−bsinθ0ab(1−cosθ)−csinθcosθ+b2(1−cosθ)bc(1−cosθ)+asinθ0ac(1−cosθ)+bsinθbc(1−cosθ)−asinθcosθ+c2(1−cosθ)0((1−a2)x0−a(by0+cz0))(1−cosθ)+(cy0−bz0)sinθ((1−b2)y0−b(ax0+cz0))(1−cosθ)+(az0−cx0)sinθ((1−c2)z0−c(ax0+by0))(1−cosθ)+(bx0−ay0)sinθ1
特别地，绕原点且单位法向量为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)的轴旋转的变换矩阵为：
[ cos θ + a 2 ( 1 − cos θ ) a b ( 1 − cos θ ) − c sin θ a c ( 1 − cos θ ) + b sin θ 0 a b ( 1 − cos θ ) + c sin θ cos θ + b 2 ( 1 − cos θ ) b c ( 1 − c o s θ ) − a sin θ 0 a c ( 1 − cos θ ) − b sin θ b c ( 1 − cos θ ) + a sin θ cos θ + c 2 ( 1 − cos θ ) 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos\theta + a^2(1-\cos\theta) & ab(1-\cos\theta)-c\sin\theta & ac(1-\cos\theta)+b\sin\theta & 0 \\ ab(1-\cos\theta)+c\sin\theta & \cos\theta+b^2(1-\cos\theta) & bc(1-cos\theta)-a\sin\theta & 0 \\ ac(1-\cos\theta)-b\sin\theta & bc(1-\cos\theta)+a\sin\theta & \cos\theta+c^2(1-\cos\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
cosθ+a2(1−cosθ)ab(1−cosθ)+csinθac(1−cosθ)−bsinθ0ab(1−cosθ)−csinθcosθ+b2(1−cosθ)bc(1−cosθ)+asinθ0ac(1−cosθ)+bsinθbc(1−cosθ)−asinθcosθ+c2(1−cosθ)00001
详细推导可参考这篇博客