多视图几何--恢复相机位姿/内参的几种方法

恢复相机位姿的几种方法

1分解投影矩阵

1.1投影矩阵分解为相机内外参矩阵的完整解析

投影矩阵（Projection Matrix）是计算机视觉中将三维世界点映射到二维像素坐标的核心工具，其本质是相机内参矩阵（Intrinsic Matrix）和外参矩阵（Extrinsic Matrix）的联合作用。

一、投影矩阵的数学构成

投影矩阵 $P$ 是一个 $3\times 4$ 的矩阵，其表达式为：
$$P=K\cdot [R|t]$$
其中：

• $K$ 是内参矩阵（$3\times 3$），包含焦距 $f_x,f_y$ 和主点坐标 $(c_x,c_y)$，形式为：
  $$K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
• $[R|t]$ 是外参矩阵（$3\times 4$），由旋转矩阵 $R$（$3\times 3$）和平移向量 $t$（$3\times 1$）组成，表示世界坐标系到相机坐标系的变换。

关键性质：

1. 投影矩阵前三列 $P_{[:,1:3]}$ 对应 $K\cdot R$，第四列 $P_{[:,4]}$ 对应 $K\cdot t$。
2. 任何非奇异的前三列矩阵均可通过分解唯一确定 $K$ 和 $R$。

二、分解步骤与数学方法

1. 分离内参矩阵 $K$ 和外参旋转矩阵 $R$

对投影矩阵的前三列进行 RQ分解（或等效的 QR分解）：
$$K\cdot R=P_{[:,1:3]}\Rightarrow \text{RQ分解}\Rightarrow K,R$$

• RQ分解：将矩阵分解为一个上三角矩阵（对应内参 $K$）和一个正交矩阵（对应旋转 $R$）。由于 $K$ 是上三角矩阵，$R$ 是正交矩阵（满足 $R^{T}R=I$），此分解是唯一的。
• 验证分解结果：
  • 检查 $K$ 的最后一行为 $[0,0,1]$，否则需对矩阵进行归一化。
  • 若分解后 $R$ 的行列式不为 $1$（即非旋转矩阵），需调整符号以保证其为合法旋转矩阵。

2. 求解平移向量 $t$

从投影矩阵第四列提取 $K\cdot t$，并通过逆运算得到平移向量：
$$t=K^{-1}\cdot P_{[:,4]}$$
示例：若 $K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，则 $K^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1/f_x& 0& -c_x/f_x\\ 0& 1/f_y& -c_y/f_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

3. 分解的唯一性与约束条件

• 尺度等价性：投影矩阵 $P$ 的尺度不确定性（即 $P$ 和 $\lambda P$ 等价）需通过附加约束（如焦距的物理单位）确定。
• 非奇异条件：分解要求 $P$ 的前三列矩阵非奇异（即 $\det (P_{[:,1:3]})\ne 0$）。

2分解单应矩阵

2.1世界坐标到像素坐标

当世界坐标为平面时，投影矩阵此时为特殊的单应矩阵，利用张正友标定法原理可以求解相机位姿。

2.2像素坐标到像素坐标

当单应矩阵描述两张照片的射影关系时，有数值法和解析法：
《Motion and structure from motion in a piecewise planar environment》
《3d reconstruction based on homography mapping》
《Deeper understanding of the homography decomposition for vision based control》

3分解本质矩阵

3.1 基本矩阵分解得到相机位姿的完整解析

在双目视觉或多视图几何中，基本矩阵（Fundamental Matrix）描述了不同视角间图像点对应的对极几何约束关系。分解基本矩阵以恢复相机位姿（旋转矩阵$R$和平移向量$t$）是三维重建与SLAM系统的核心步骤。以下结合数学推导、分解方法及工程实践，详细阐述其实现过程。

一、基本矩阵与本质矩阵的关系

基本矩阵$F$和本质矩阵$E$是理解对极几何的关键：

1. 基本矩阵$F$：
   定义两视图间的对极约束关系，满足：
   $${\mathbf{x}}^{\prime T}F\mathbf{x}=0$$
   其中$\mathbf{x}$和${\mathbf{x}}^{\prime }$为归一化平面坐标点。

2. 本质矩阵$E$：
   当相机内参$K$已知时，$E$与$F$的关系为：
   $$E=K^{T}FK$$
   $E$可分解为旋转矩阵$R$和平移向量$t$的组合：
   $$E=[t{]}_{\times }R$$
   其中$[t{]}_{\times }$为平移向量$t$的斜对称矩阵。

二、分解本质矩阵的数学步骤

1. 奇异值分解（SVD）

对本质矩阵$E$进行SVD分解：
$$E=U\Sigma V^T$$
其中$\Sigma =\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,0)$，${\sigma }_1\approx {\sigma }_2$。根据Hartley的归一化方法，$\Sigma$可替换为$\text{diag}(1,1,0)$以消除尺度影响。

2. 构造候选解

分解后，旋转矩阵$R$和平移向量$t$的可能组合为：
$$R=UW{V}^T\text{或}R=U{W}^T{V}^T$$
$$t=U_{\cdot 3}\text{或}t=-U_{\cdot 3}$$
其中：
$$W=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
这会产生四组候选解$(R_1,t_1),(R_1,-t_1),(R_2,t_1),(R_2,-t_1)$。

3. 解的唯一性筛选

通过正深度约束筛选正确解：

1. 对匹配点对$\mathbf{x}\leftrightarrow {\mathbf{x}}^{\prime }$，计算三角化后的3D点$P$在相机坐标系下的深度$Z$。
2. 若所有点的深度$Z$均为正，则该解为物理可行解。
3. 若存在多组可行解，需结合多视图几何或先验信息进一步判断。

4PnP方法

通过已知的3d点和对应的2d点，直接求解相机位姿，主要有直接线性变换，p3p，EPnP，BA等。
参考：
MVG
slam14讲
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