什么是张量（不是卖麻辣烫的那个张亮）

张量小记

张量是在数学、物理、计算机等领域的一个重要的学术名词，看起来很高大上（实际有时候也雀食酱紫），在这里煮啵简要通俗的说说这玩意是个啥，补药一听到张量就想起麻辣烫了大馋猫（虽然煮啵曾经也是）。

通俗易懂的张量（Tensor）讲解

1. 什么是张量？

说人话：张量（Tensor）是一种 “多维数据表”，可以用来存储和处理多维信息。

标量、向量、矩阵与张量的关系

2. 现实中的张量

张量在现实世界无处不在：

• 灰度图片（2 阶张量）：黑白图片是一个 $28\times 28$ 的矩阵。
• 彩色图片（3 阶张量）：一张你的英俊潇洒的自拍 $1960\times 1280$ 的彩色图片有 R、G、B 三个颜色通道，因此是 $28\times 28\times 3$ 的数据。
• 视频（4 阶张量）：如果小电影有 100 帧，每一帧是一个彩色图片，那整个视频是一个 $100\times 1920\times 1280\times 3$ 的数据。

简单来说，张量就是更高维的数据表！

3. 张量的坐标变换

张量的一个重要特点是：无论坐标系怎么变，它的本质不变。举个例子：

• 标量（如温度）：无论在哪个国家，$30^{\circ }C$ 还是 $30^{\circ }C$。
• 向量（如风速）：风速 $5\text{m/s}$ 向东，如果换个坐标系，它的 $x$、$y$ 分量会变，但风速本身不变。
• 矩阵（如应力）：比如房子受到的压力，在不同角度看可能不同，但压力本身是不变的。

这就是张量的变换规则，确保它可以在不同坐标系下正确描述物理现象。

4. 张量的计算

(1) 张量加法

如果两个张量的形状相同，比如：
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$$
那么：
$$A+B=\left[\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$

(2) 张量乘法

如果是矩阵乘法：
$$A\times B=\text{矩阵相乘}$$
如果是更高阶张量，就会用更复杂的计算方式，比如 张量积（Tensor Product）。

5. 张量的应用

(1) 物理学（广义相对论）

爱因斯坦的广义相对论用张量描述引力：
$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$
这里的 $ g_{\mu\nu} $ 就是度量张量，它决定了空间的形状。

(2) 机器学习

在 深度学习（如 TensorFlow、PyTorch）中，所有数据（图片、音频、文本）都存储成张量。例如：

• 一张图片是一个 3 维张量。
• 一个批次（Batch）图片是一个 4 维张量。

（3）在计算机视觉中的应用 （煮啵夹带私活嘿嘿）

张量（Tensor）在**计算机视觉（Computer Vision, CV）**中至关重要，因为几乎所有的视觉数据都可以用张量表示和处理。下面是张量在计算机视觉中的主要应用，以及相关的详细讲解。

1. 计算机视觉中的张量表示

在计算机视觉任务中，图片、视频等数据都可以表示为张量。例如：

(1) 图片（Image）

一张灰度图片可以用 二维张量（矩阵） 表示：

• 假设有一张 $28\times 28$ 的黑白图片，每个像素点存储一个灰度值（$0\sim 255$）。
• 这就是一个 $(H,W)$ 形状的 2D 张量，即 $28\times 28$ 的矩阵。

一张彩色图片是一个 三维张量：

• 彩色图片有 RGB 通道（红、绿、蓝），每个通道都是一个 $H\times W$ 的矩阵。
• 这构成了一个 $(H,W,C)$ 形状的 3D 张量，例如 $28\times 28\times 3$。

(2) 视频（Video）

• 视频是由**多张图片（帧）**组成的，所以它是一个 四维张量：
  $$(N,H,W,C)$$
  其中：

  • $N$ 表示帧数（Frame number）。
  • $H,W$ 是图片高度和宽度。
  • $C$ 是通道数（RGB = 3）。

例如，一个 $60$ 帧的视频，分辨率 $1920\times 1080$，RGB 通道，就可以用：
$$(60,1080,1920,3)$$
的 4D 张量来表示。

(3) 批量处理（Batch Processing）

在深度学习中，我们通常一次处理多个样本，例如：

• 一个批次（Batch）有 $32$ 张图片，每张是 $28\times 28\times 3$，则数据是：
  $$(B,H,W,C)=(32,28,28,3)$$
  这就是 5 维张量（5D Tensor），用于批量训练神经网络。

2. 张量在计算机视觉任务中的应用

(1) 图像分类（Image Classification）

任务：给定一张图片，判断其类别，比如 猫 / 狗 分类。

• 输入： $(H,W,C)$ 形状的张量（如 $224\times 224\times 3$）。
• 模型（CNN）： 使用卷积神经网络（CNN）处理。
• 输出： 一个类别概率向量（如 $[0.9,0.1]$ 代表 90% 是猫，10% 是狗）。

示例网络：
$$\text{输入}\to \text{CNN 层}\to \text{全连接层}\to \text{Softmax 输出}$$

• CNN 提取特征，如边缘、纹理、形状等。
• 最终输出一个 张量，代表每个类别的概率。

(2) 目标检测（Object Detection）

任务：检测图片中的多个目标，输出它们的位置和类别。

• 输入： $(H,W,C)$ 形状的张量（如 $416\times 416\times 3$）。
• 模型： 使用 YOLO / Faster R-CNN 等目标检测网络。
• 输出： 一个 多维张量，表示多个目标的类别和边界框。

示例输出：
$$(N,5)=(3,[x,y,w,h,class])$$

• 这里的 $N$ 是检测到的目标数（比如 3 个）。
• 每个目标由 5 个数值表示：
  • $x,y,w,h$ 表示目标框的位置（中心点坐标 + 宽高）。
  • $class$ 表示类别（如 1 = 狗，2 = 猫）。

(3) 语义分割（Semantic Segmentation）

任务：给图片的每个像素分类，比如区分“人”和“背景”。

• 输入： $(H,W,C)$ 形状的图片张量。
• 模型： U-Net、DeepLabV3+ 等语义分割网络。
• 输出： $(H,W,K)$ 形状的张量，其中 $K$ 是类别数。

示例：

• 对于 $512\times 512$ 的图片，输出是 $(512,512,2)$，每个像素都有两个数值，分别表示“前景”和“背景”的概率。

(4) 实例分割（Instance Segmentation）

任务：不仅要分割出物体，还要区分不同个体，比如图中有 3 只狗，要给它们不同编号。

• 输入： $(H,W,C)$ 的图片张量。
• 输出： $(H,W,N)$，其中 $N$ 是检测到的实例个数。

Mask R-CNN 是一个典型的实例分割模型，它的输出是一个 多通道张量：

• 一个通道是目标类别。
• 另一个通道是目标的边界框坐标。
• 还有一个通道是掩码（Mask），表示像素级区域。

(5) 生成对抗网络（GANs）

任务：用深度学习生成新图像，比如生成逼真的人脸。

• 输入： 一个随机向量张量（如 $[100]$）。
• 生成器（Generator）： 把 1D 张量转换成 3D 图片张量。
• 输出： $(H,W,C)$ 形状的张量，表示合成图像。

GANs 结构：
$$\text{随机噪声}\to G(z)\to \text{生成假图片}\to D(x)\to \text{判别真假}$$

• 生成器 G 生成图片张量。
• 判别器 D 评估真假。

3. 计算机视觉中张量的操作

在 PyTorch / TensorFlow 里，我们常用以下操作：

1. 转换形状（Reshape）

   x = torch.randn(1, 3, 224, 224)  # (Batch, Channel, Height, Width)
   x = x.view(3, 224, 224)  # 去掉 batch 维度
   

​ 2.张量归一化（Normalization）

x = x / 255.0  # 将像素值缩放到 [0, 1]

​ 3.维度变换（Permute / Transpose）

x = x.permute(2, 0, 1)  # 从 (H, W, C) 变为 (C, H, W)

​ 4.卷积运算（Convolution）

pythonCopyEditconv = torch.nn.Conv2d(in_channels=3, out_channels=16, kernel_size=3, stride=1, padding=1)
output = conv(x)  # 经过 3x3 卷积，得到新的张量

6. 总结

• 张量是一种“多维数组”，可以是 0 维（标量）、1 维（向量）、2 维（矩阵）或更高维。
• 张量的核心是“坐标无关”，无论你换什么坐标系，它的数学性质都不变。
• 张量在现实世界中无处不在，在物理学、计算机科学、深度学习等领域都非常重要。