数学建模 第一节

目录​​​​​​

前言

一 优化模型的类型

 二  线性规划1

      线性规划2

 三 0-1规划

总结

前言

数学建模主要是将问题转化为模型，然后再以编程的形式输出出来
算法都知道，数学建模也需要用到算法，但是不是主要以编程形式展示，而是利用模型和有关于数学建模的公具加以展示，这里主要以问题的形式引出数学建模的知识点和编程知识点

一 优化模型的类型

1	线性规划
2	非线性规划
3	正数规划
4	"0-1"规划

 二  线性规划1

问题一：合理利用线材问题
现在要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m，1.5m的元钢各一根，已知原料长7.4m，问应该如何进行下料使用的原材料更小



首先我们要知道我们这个题目明显是一个取最优解的问题，那么就是一个切割最优问题
其次就要去找题目里面的未知量，找到未知量，才可以构建出模型
模型的确定是根据目标函数和约束条件确定的

为什么是线性规划
我们需要确定如何从7.4米长的原料中切割出所需的2.9米、2.1米和1.5米的元钢，以最小化浪费的材料。这个问题可以表示为一个线性规划问题，因为：

• 目标函数是线性的：我们的目标是最小化使用的原料根数，即 x1​+x2​+x3​+x4​+x5​+x6​，这是一个线性函数。

• 约束条件是线性的：我们需要满足切割出的元钢总数至少为100根的条件，这些条件可以表示为线性不等式，例如 2.9*x1​+2.9*2x2​+2.9x5​≥100。

• 变量是非负的：切割的套数 xi​ 必须是非负整数。

那么我们知道这些未知量了，我们就要构建模型，首先我们来构建一个表格

	方案1	方案2	方案3	方案4	方案5
2.9	1	2	❌	1	❌
2.1	❌	❌	2	2	1
1.5	3	1	2	❌	3

首先我们有这么多种的方案，每一个方案构建的总值都是小于7.4m的
这里讲讲为什么不考虑使用2.9 2.1 1.5各自取一根不加？
📌 结论

1. 单看浪费大小不够，要考虑整体优化。
2. 如果一个方案的浪费比其他方案都大，通常不会被选入最优解。
3. 有些方案即使浪费稍多，但可能是拼凑 100 套钢架的“必要补充”，可以加入。
4. 最好的方法是用整数规划（ILP）求解，让计算机自动决定是否要用某个方案。

💡 所以，加不加 6.5m 方案？可以加，但最终让计算机决定！ 🚀
因为我们看倒数第二个，这个是已经到7.1了，之前都是7.4，7.3，7.2，这个是7.1所以加入，但是我们到第五种方案的时候已经到达了6.6，跨度很大，这个时候，我们就取这个，首先我们电脑是会自己判断这个方案取不取的，这个时候我们加上是为了避免电脑取最优解要用到，保险，这个时候，其实没有必要加这个方案六，每个都取一根，因为我们已经有一个保险的了

即使你加了也没事，因为这个电脑可能不会选择，不考虑这个方案，我们这个题目是要减少浪费的

那么我们要怎么判断是否要加上方案呢？以下是al分析，作者先记下来，方便下次复习看
📌 原则 1：能否减少浪费？

• 计算当前已有方案的最小浪费（例如，方案 2 只浪费 0.1m）。
• 如果你的新方案浪费比所有已知方案都多（例如浪费 0.9m），那它几乎不会被选入最优解。
• ✅ 选择浪费更少的方案，❌ 排除浪费更多的方案。

示例对比（假设现有方案最小浪费 0.1m）：

方案	切割方式	总长	浪费
方案 2	2.9m ×2 + 1.5m ×1	7.3m	0.1m ✅（最优之一）
方案 3	2.1m ×2 + 1.5m ×2	7.2m	0.2m ✅
方案 5	2.1m ×1 + 1.5m ×3	6.6m	0.8m ❓（可能需要）
你的方案	2.9m ×1 + 2.1m ×1 + 1.5m ×1	6.5m	0.9m ❌（比 0.8m 更差，不需要）

🔍 如果新方案的浪费比已有方案大，基本就不会被选取

📌 原则 2：能否帮助满足 100 套需求？

即使方案本身浪费稍多，但如果它能让其他方案更好地拼接成 100 套，也可能有用！

如何判断？

1. 尝试去掉某个方案，看看是否还能刚好满足 100 套需求。
2. 如果去掉某个方案会导致解不可行，说明它是必要的，即使它浪费稍多。
3. 如果所有方案能凑够 100 套，而某个方案总是没被选中，那它可以去掉。

💡 结论：如果一个方案不会被用到，或者可以被更优的方案替代，就不取！

📌 实践方法：让 ILP 自动决定

如果你不确定某个方案是否应该加入，可以让整数规划（ILP）自动决定：

1. 先把所有可能的方案（包括 6.5m 方案）都放进去。
2. 让 ILP 计算最优解，如果某个方案没有被选取，说明它不是最优的。
3. 查看最终结果，看看哪些方案真正被使用了。

接下来我们就要把这个模型转换到这歌软件上进行操作

接下来我们就要用到这个LINGO来编写
首先这个sets:和endsets是表示定义一个aa集合，aa集合里面有x这个变量，然后这个1..5就是这个变量的下标

然后这个min就是求解最小值，@sum表示求和，遍历集合aa的里的i，然后紧接着根据这个aa(i)遍历里面的变量
也就是遍历里面aa里面的i，然后这个后面这个是aa集合里面的变量，随着者aa里的i进行改变
下面就是一些约束条件了

@gin(x(i)) 指定 x(i) 必须是整数变量，然后for循环就是遍历这里面的变量，这些变量的值不可以是小数，而是整数

最后就输出90根钢铁了

三  线性规划2

问题二  某昼夜服务的公交路线每天个时间区段都需要的工作人员如下表格，设工作人员分别再各个时间区段一开始上班，并连续工作8小时，问该公交至少需要多少工作人员
 

班次	时间	需要人数
1	6:00-10:00	60
2	10:00-14:00	70
3	14:00-18:00	60
4	18:00-22:00	50
5	22:00-2:00	20
6	2:00-6:00	30

接下来我们要分这个题目 
首先我们题目问的是总共的工作人员最少，那么就是每个时间段的人我都是不知道那么是多少，删一个题目每一根钢材我都是知道的，我只需要设置出方案数量，然后把这些方案给规划起来求出值
所以我们这里设置的未知量就是每一个时间段的人数，考虑这里面的未知量

接下来我们就分析出了模型，接下来我们就可以编程了

 编程答案

Sets:
  aa /1..6/: y;
  bb/1..6/: x;
Endsets

data:
  x = 60,70,60,50,20,30;
enddata

Min = @sum(aa(i): y(i));

y(1) + y(6) >= x(1);
y(2) + y(1) >= x(2);
y(3) + y(2) >= x(3);
y(4) + y(3) >= x(4);
y(5) + y(4) >= x(5);
y(6) + y(5) >= x(6);

! 变量必须是整数;
@for(aa(i): @gin(y(i)));

这样才是正确的，答案为14

 三 0-1规划

在一个公司在市东南西三区建立门市部，有7个位置点(Ai,i=1.2.3...7)可供选择，规定：
1）在东区，由A1 A2 A3三个点至多选择两个
2）在西区，由A4 A5两个点至少选择一个
3）在南区，由A6 A7两个点至少选择一个
如果选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年获利利润估计为ci元，但是投资总量不可以超过M元，问应该选择哪几个点建立门市部使得年利润最大

首先这个就是典型的0-1问题，每一个点我们都有选择和不选择，1就是选择，0就是不选择
那么我们就要考虑怎么选择就好了

接下来我们就只需要编程就好了

sets:
 aa/1..7/:b,c,x;
endsets

data:
  c = 1,5,7,4,6,8,9; 
  b = 12,56,45,34,32,78,89;
  M = 200;
enddata

max = @sum(aa(i):c(i)*x(i));
x(1) + x(2) + x(3) <= 2;
x(4) + x(5) >=1;
x(6) + x(7) >=1;
@sum(aa(i):b(i)*x(i)) <= M;
@for(aa(i):@bin(x(i)));

 1  for循环的错误使用

@sum(@for(aa(i):b(i)*x(i))) <= M;

这样是不对的，sum里面已经隐式包括了相加的迭代，所以这么写会出现语法错误 

2  错误提示栏的报错

这个通常是我么缺少了右括号才有的错误

这里的bin函数是直接随机取值，然后转化为01，这样就可以运用到0-1规划

总结

首先我们学习到了线性规划和0-1规划
0-1规划还是很好理解，但是这个线性规划还是有点抽象

首先第一个钢铁问题就是取走最优的部分，你可以看到这个就是把资源浪费最少的放上去，然后最后一个弄一个保险的就好了

第二个就是找出安排时间的问题，我们只需要把相邻的时间段弄出来，然后最后算出最后人数的最小值就好了因为这个是一环扣着一环的

你只需要把问题利用数学模型描述出来，编程就会自动帮你跑出来，也就是C++里面的抽象