《交互式线性代数》
*Interactive Linear Algebra*由Dan Margalit和Joseph Rabinoff编写,是一本聚焦线性代数的教材。本书旨在教授线性代数的核心概念、方法及其应用,通过代数与几何相结合的方式,帮助读者深入理解线性代数的本质,培养解决实际问题的能力。
核心内容
线性方程组求解
代数方法:介绍线性方程组的基本概念,如解的定义、解集等。通过消元法和行变换,将方程组转化为增广矩阵进行求解。同时,引入行阶梯形和简化行阶梯形矩阵,便于判断方程组解的情况。对于有解的方程组,可用参数形式表示其解集,根据自由变量的数量确定解的个数,包括唯一解、无穷多解和无解三种情况。
几何意义:将向量引入线性方程组的研究,向量的加法、数乘及线性组合具有明确的几何解释。向量方程与线性方程组等价,通过 s p a n span span的概念可从几何角度理解方程组的解。矩阵方程 A x = b Ax = b Ax=b的解集合与列空间密切相关,通过研究齐次和非齐次方程组的解集合,可深入理解线性方程组的几何意义。
线性变换与矩阵代数
- 线性变换的概念:矩阵可看作是一种函数,对应着各种几何变换,如投影、反射、旋转等。通过定义变换的定义域、值域和陪域,深入研究线性变换的性质。判断线性变换是否为一一对应和映上,对于理解变换的特性至关重要。
- 矩阵运算:矩阵乘法对应着线性变换的复合,满足特定的运算规则,但不满足交换律。此外,还介绍了矩阵的加法、数乘运算及其性质,这些运算与线性变换的运算相互关联,为解决线性代数问题提供了有力工具。
行列式:行列式是方阵的一个重要属性,通过其对行运算的行为来定义。计算行列式可使用行变换法和余子式展开法,同时行列式与矩阵的可逆性密切相关,还与体积存在几何联系,在多方面有着广泛的应用。
特征值与特征向量:学习特征值、特征向量和特征多项式的概念及计算方法,理解相似性、对角化和复特征值等相关知识,这些内容在解决实际问题中具有重要作用,随机矩阵也是该部分的重要研究对象。
正交性:介绍点积、正交补、正交投影等概念和性质,点积用于衡量向量的相似程度,正交补和正交投影在解决向量空间中的问题具有重要应用。最小二乘法用于近似求解问题,在数据建模等领域有广泛应用。
文章中使用的交互式处理库MathBox 是一个使用 WebGL 在浏览器中渲染高质量数学图形的库。它构建在 Three.js 和 ShaderGraph 之上,提供了一个简洁的 API 来可视化数学关系并以声明方式对其进行动画处理。