self Attention为何除以根号dk？（全新角度）

全网最独特解析：self Attention为何除根号dk？

一、假设条件：查询向量和键向量服从正态分布

假设查询向量$q_i$和键向量$k_j$的每个分量均为独立同分布的随机变量，且服从标准正态分布，即：
$$q_i^{(m)},k_j^{(m)}\sim \mathcal{N}(0,1)(m=1,2,\dots ,d_k)$$
此时，每个分量的均值为0，方差为1。

二、点积的统计特性分析

查询向量$q_i$和键向量$k_j$的点积为：
$$q_i\cdot k_j=\sum _{m=1}^{d_k}{q}_i^{(m)}{k}_j^{(m)}$$
根据独立随机变量和的方差性质，点积的方差为：
$$\text{Var}(q_i\cdot k_j)=\sum _{m=1}^{d_k}\text{Var}(q_i^{(m)}{k}_j^{(m)})$$
由于$q_i^{(m)}$和$k_j^{(m)}$独立且均服从$\mathcal{N}(0,1)$，乘积的方差为：
$$\text{Var}(q_i^{(m)}{k}_j^{(m)})=\text{Var}(q_i^{(m)})\cdot \text{Var}(k_j^{(m)})+[E(q_i^{(m)}){]}^2\cdot \text{Var}(k_j^{(m)})+[E(k_j^{(m)}){]}^2\cdot \text{Var}(q_i^{(m)})=1$$
因此，点积的方差为$d_k$，标准差为$\sqrt{d_k}$。

三、缩放的必要性：Softmax的输入敏感性

Softmax函数对输入值的量级极其敏感：

1. 数值溢出问题：若点积的绝对值随$d_k$增大而显著增大（例如$d_k=64$时标准差为8），输入Softmax的值可能超出浮点数表示范围。
2. 梯度消失问题：当某些点积值远大于其他值时，Softmax输出接近独热分布（Hard Attention），导致梯度趋近于零，阻碍参数更新。
3. 分布退化问题：未经缩放的输入会使注意力权重集中在极少数位置，失去“软性关注”的优势。

四、除以$\sqrt{d_k}$的数学解释

通过将点积除以$\sqrt{d_k}$，可以将点积的标准差从$\sqrt{d_k}$缩放至1，即：
$$\text{Var}\left(\frac{q_i\cdot k_j}{\sqrt{d_k}}\right)=\frac{\text{Var}(q_i\cdot k_j)}{d_k}=1$$
此时，点积的分布被标准化为$\mathcal{N}(0,1)$，实现了以下效果：

1. 数值稳定性：Softmax输入的均值为0、方差为1，避免极端值。
2. 梯度均衡性：Softmax输出的概率分布更平缓，梯度更新更稳定。
3. 模型鲁棒性：注意力权重在多位置间合理分配，保留软性关注能力。

五、为何不是其他缩放因子？

若采用其他缩放因子（如$d_k$或$2\sqrt{d_k}$）：
• 除以$d_k$：方差将缩小为$1/d_k$，导致Softmax输入过小，注意力权重趋于均匀分布，失去区分性。
• 除以$2\sqrt{d_k}$：方差将缩小为$1/4$，输入量级过小，同样影响注意力权重的有效性。

总结

从正态分布的角度看，除以$\sqrt{d_k}$的本质是通过方差归一化，将点积的统计特性控制在合理范围内。