“OJ超时不是终点，是算法在提醒你该优化时间复杂度了！”
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3.25 差分数组
我们直接用一道题来了解差分数组吧
一、一维差分
题目链接：
题目描述：
解题思路：
还是可以用暴力枚举来搞定，我们把整个数组遍历一遍，再把对应位置加上x就行了，但是这样绝对是会超时长滴，不然我干嘛用这个例题？
对于类似的题，我们就可以用差分算法，和前缀和数组类似，我们需要预处理一个差分数组出来
这个数组的好处就是当你要在 l ~ r 的区间加上 x 的时候（图中用2~5）来表示，就只需要在差分数组中的 l 位置加上 x ，r + 1 位置减去 x ，再还原为原数组就行
也就是：a[ l ] += x; a[ r + 1 ] -= x;
此时还有人要问：煮波煮波，那怎么还原数组呢？其实把差分数组做一个前缀和运算即可还原 证明如下：
解题代码：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N];
int n, m;
int main()
{
cin >> n >> m;
// 利用差分的性质预处理差分数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
LL x;cin >> x;
a[i] += x;
a[i + 1] -= x;
}
// m次操作
while(m--)
{
LL l, r, x; cin >> l >> r >> x;
a[l] += x;
a[r + 1] -= x;
}
// 利用前缀和还原数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
a[i] = a[i - 1] + a[i];
cout << a[i] << " ";
}
return 0;
}二、海底高铁
题目链接：
题目描述：
解题思路：
这里我们只需要知道这个人每段铁路一共坐了几次，再判断是直接买票划算还是买卡划算，最后累加输出即可
解题代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;
LL f[N];
int n, m;
int main()
{
cin >> n >> m;
int l, r; cin >> l;
// 利用差分记录每段铁路经过的次数
for (int i = 2; i <= m; i++)
{
cin >> r;
if (l <= r) f[l] += 1, f[r] -= 1;
else f[r] += 1, f[l] -= 1;
l = r;
}
// 还原数组
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i] = f[i - 1] + f[i];
}
LL ret = 0;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
LL a, b, c; cin >> a >> b >> c;
ret += min(a * f[i], c + b * f[i]);
}
cout << ret << endl;
return 0;
}三、二维差分
题目链接：
题目描述：
解题思路：
如图所示我们需要对以下结果数组进行操作：
f[x1][y1] + k
f[x2 + 1][y1] - k
f[x1][y2 + 1] - k
f[x2 + 1][y2 + 1] - k
这样我们累加起来以后就可以得到二维数组中区间+k的操作
解题代码：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1010;
LL f[N][N];
int n, m, q;
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int x)
{
f[x1][y1] += x;
f[x2 + 1][y1] -= x;
f[x1][y2 + 1] -= x;
f[x2 + 1][y2 + 1] += x;
}
int main()
{
cin >> n >> m >> q;
// 预处理二维齐差分数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
LL a; cin >> a;
insert(i, j, i , j ,a);
}
}
while(q--)
{
LL x1, y1, x2, y2, a; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >>a;
insert(x1, y1, x2, y2, a);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + f[i][j];
cout << f[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}四、地毯
题目链接：
题目描述：
解题思路：
这题其实就是把地毯对应的区域全加上一，最后再输出数组即可解决
解题代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int n, m;
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int a)
{
f[x1][y1] += a;
f[x2 + 1][y1] -= a;
f[x1][y2 + 1] -= a;
f[x2 + 1][y2 + 1] += a;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
while (m--)
{
int x1, y1, x2, y2; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
insert(x1, y1, x2, y2, 1);
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + f[i][j];
cout << f[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}今天就到这里吧，下一期我们将讲解二分算法~886~
蓝桥杯选手日常：
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