量子计算模拟中的测量与噪声建模：基于 3 量子比特系统分析

前言

量子计算是一个充满未来潜力的领域，吸引了大量研究者投入其中，探索如何利用量子力学的基本原理来进行高效计算。尽管量子计算机的硬件实现还在不断发展，我们可以通过模拟来对量子系统的行为进行研究和验证。今天，我将向大家展示如何使用 MATLAB 编写代码，模拟一个三量子比特系统，计算测量概率，并引入噪声模型，进而通过模拟测量分析量子态。

1.量子态与密度矩阵

首先，我们需要了解量子态是如何表示的。在量子力学中，量子态通常用一个向量来表示，而密度矩阵则是量子态的一种更常用的描述方法。我们通过将量子态表示为一个列向量 ( |\psi\rangle )，计算得到密度矩阵

$$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$$

它代表了量子系统的完整状态。

在我们的示例中，我们定义了一个三量子比特 (3-qubit) 系统，该系统的维度为 8 (( 2^3 = 8 ))，每个量子比特有 2 种可能的状态。我们给定了一个包含 8 个元素的复数数组 ( \alpha )，并对其进行归一化处理，以确保该量子态是物理上可行的（即其概率总和为 1）。

alpha = [0.3, 0.2, 0.4, 0.1, 0.05, 0.15, 0.02, 0.03];
alpha = alpha / norm(alpha);
psi = alpha(:);
rho = psi * psi';

2. 投影测量算符与概率计算

在量子测量中，我们需要定义投影算符，它们代表了对量子比特系统的“测量”操作。我们创建了 8 个投影算符，分别对应于量子系统的每一个标准基态（|000⟩ 到 |111⟩）。每个投影算符的作用是将量子态投影到对应的基态，从而计算出量子系统在该基态下被测量到的概率。

P = zeros(8, 8, 8);
for i = 1:8
    P(i,i,i) = 1;
end

我们利用密度矩阵和投影算符的迹运算来计算每个基态的测量概率：

for i = 1:8
    prob(i) = trace(P(:,:,i) * rho);
end

这个部分的代码输出了每个标准基态的理论概率，例如测量到 |000⟩ 的概率、测量到 |001⟩ 的概率，依此类推。

3. 模拟多次量子测量

虽然我们计算了理论概率，但实际情况往往是通过多次实验来验证这些概率。为此，我们使用 MATLAB 中的随机数生成器模拟了 10000 次量子测量。通过比较每次测量结果与预定的概率，我们可以统计出测量结果的频率，并与理论概率进行比较。

measurements = rand(num_measurements, 1);
results = zeros(num_measurements, 1);
cum_prob = cumsum(prob);
for i = 1:num_measurements
    r = measurements(i);
    results(i) = find(r <= cum_prob, 1) - 1;
end

通过这段代码，我们生成了一个 0 到 1 的随机数列，然后根据累积概率将其映射到每个可能的量子基态。最后，我们计算并展示了每个基态的测量频率。

4. 可视化测量结果

为了更好地理解模拟的结果，我们用条形图展示了 8 个基态的测量结果频率。这种可视化方式帮助我们直观地了解模拟结果与理论概率的关系。

figure;
bar(0:7, histcounts(results, -0.5:1:7.5) / num_measurements * 100);
xlabel('Measured State (Decimal)');
ylabel('Frequency (%)');
title('Measurement Outcome Distribution');
grid on;

这段代码创建了一个条形图，其中显示了每个基态被测量到的频率（百分比）。通过与理论概率进行对比，我们可以验证测量模拟的精度。

5. 加入退相干噪声

量子计算中的噪声是不可忽视的因素，现实中的量子计算系统往往会受到不同类型噪声的影响。为了让模拟更加真实，我们引入了相位阻尼噪声模型。这种噪声模型会导致量子信息的丢失，影响测量结果。

在代码中，我们定义了相位阻尼的 Kraus 算符，通过它来模拟噪声对量子态的影响。

K0 = [1, 0; 0, sqrt(1 - gamma)];
K1 = [0, 0; 0, sqrt(gamma)];

这些算符作用于量子系统的第一个量子比特（qubit），改变系统的密度矩阵，模拟实际中可能出现的量子退相干。

6. 使用 kron 构造泡利算符

在量子计算中，泡利矩阵（Pauli matrices）是非常重要的操作符。我们使用 kron 函数将 2×2 的泡利矩阵扩展到 8 维空间，进而对三量子比特系统中的某个 qubit 进行测量。

sigma_x = kron(kron(sx, id), id);
sigma_y = kron(kron(sy, id), id);
sigma_z = kron(kron(sz, id), id);

这些泡利算符可以用来计算量子态在不同方向上的期望值，从而更好地了解量子系统的行为。

7.效果

8.完整代码获取

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