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旋转图像的艺术：矩阵操作的巧妙实现

作者：Echo_Wish

“如何优雅地旋转一张图片？” 这可不是 Photoshop 一键旋转那么简单，在计算机世界里，这背后其实是一个经典的矩阵操作问题！

无论是图像处理、计算机视觉，还是游戏开发、数据分析，旋转二维矩阵（图像）的算法都大有用武之地。今天，我们就来深入剖析矩阵旋转的几种实现方式，带你掌握高效、优雅的旋转技巧！

1. 图像旋转的本质：矩阵旋转

我们知道，数字图像在计算机中是用 二维矩阵 存储的，每个像素都是矩阵中的一个元素。例如，假设我们有这样一张 3×3 的图片：

如果 顺时针旋转 90°，那么矩阵应该变成：

这里的核心问题是：如何在代码里高效实现这个操作？

2. 方法一：使用转置 + 翻转（高效优雅）

思路解析

最简单的方法是 先转置，再翻转：

矩阵转置（主对角线翻转）：matrix[i][j] 变为 matrix[j][i]
水平翻转（左右镜像）：matrix[i][j] 变为 matrix[i][n-j-1]

示例代码（Python 实现）：

def rotate(matrix):
    """
    使用转置 + 翻转实现顺时针旋转 90 度
    :param matrix: 二维列表（n×n 矩阵）
    """
    n = len(matrix)
    
    # 1. 先转置矩阵（行列互换）
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):  # 只交换右上三角区域，避免重复交换
            matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
    
    # 2. 再水平翻转（左右翻转）
    for i in range(n):
        matrix[i].reverse()  # 直接使用 Python 列表反转

# 示例
mat = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
]
rotate(mat)
print(mat)  # 输出 [[7, 4, 1], [8, 5, 2], [9, 6, 3]]

时间 & 空间复杂度分析

时间复杂度：O(n²)，因为我们遍历了两次矩阵（转置 + 翻转）
空间复杂度：O(1)，所有操作都是原地完成，没有额外空间开销

这种方法简洁高效，能直接在原矩阵上操作，避免了额外的内存消耗，是最常用的方法！

3. 方法二：使用旋转公式计算新位置（直观但不够高效）

另一种方式是直接计算旋转后的位置：
$new\_row = col$
$new\_col = n - row - 1$

Python 代码如下：

def rotate_new_matrix(matrix):
    """
    计算旋转后的位置，创建新矩阵存储
    :param matrix: 二维列表（n×n 矩阵）
    :return: 旋转后的新矩阵
    """
    n = len(matrix)
    rotated = [[0] * n for _ in range(n)]  # 创建一个新矩阵
    
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            rotated[j][n - i - 1] = matrix[i][j]  # 计算新位置
    
    return rotated

# 示例
mat = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
]
new_mat = rotate_new_matrix(mat)
print(new_mat)  # 输出 [[7, 4, 1], [8, 5, 2], [9, 6, 3]]

优缺点对比

✅ 直观易懂：直接计算旋转后的位置
❌ 额外空间开销：创建了一个新矩阵，空间复杂度 O(n²)
❌ 不适用于原地修改

因此，这种方法更适合需要返回新矩阵的情况，而第一种方法更适合在原矩阵上修改。

4. 方法三：逐层旋转（适用于大矩阵）

对于 大矩阵（如 1000×1000），逐层旋转可能更高效，它避免了整体操作，减少了缓存访问带来的性能损失。

核心思路

我们把矩阵按圈拆分，比如 4×4 矩阵：

1   2   3   4  
5   6   7   8  
9   10  11  12  
13  14  15  16

旋转时，我们逐层操作，只交换外圈元素，然后递归到内圈。

代码实现

def rotate_layer(matrix):
    """
    逐层旋转矩阵
    :param matrix: 二维列表（n×n 矩阵）
    """
    n = len(matrix)
    
    # 逐层旋转
    for layer in range(n // 2):
        first, last = layer, n - layer - 1
        for i in range(first, last):
            offset = i - first
            # 保存左上角元素
            top = matrix[first][i]
            
            # 左 -> 上
            matrix[first][i] = matrix[last - offset][first]
            
            # 下 -> 左
            matrix[last - offset][first] = matrix[last][last - offset]
            
            # 右 -> 下
            matrix[last][last - offset] = matrix[i][last]
            
            # 上 -> 右
            matrix[i][last] = top

# 示例
mat = [
    [1, 2, 3, 4],
    [5, 6, 7, 8],
    [9, 10, 11, 12],
    [13, 14, 15, 16]
]
rotate_layer(mat)
print(mat)  # 输出 [[13, 9, 5, 1], [14, 10, 6, 2], [15, 11, 7, 3], [16, 12, 8, 4]]

总结：哪种方法最好？

方法	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
转置 + 翻转	O(n²)	O(1)	✅ 原地修改，最优雅
新矩阵存储	O(n²)	O(n²)	✅ 需要返回新矩阵
逐层旋转	O(n²)	O(1)	✅ 适用于大矩阵

在实际应用中，第一种方法（转置 + 翻转） 是最常用的！

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