投资组合优化模型：均值方差分析与无风险资产配置

摘要

本文系统解析投资组合优化问题，基于Markowitz均值方差理论构建数学模型。通过股票历史收益数据分析，演示如何利用Matlab求解二次规划问题，确定最优资产配置比例。重点讨论无风险资产引入后的模型扩展，验证分离定理的实际应用。结合具体案例，对比分析不同期望收益率下的风险变化趋势，揭示投资组合优化的核心逻辑。

1. 基本投资组合模型

1.1 问题背景

假设投资者在1955年需将资金分配于三种股票（A、B、C），要求年收益率至少15%。通过历史数据（表1）计算股票收益的均值、方差及协方差矩阵，构建均值方差优化模型。

表1 股票收益数据（1943-1954）

1.2 模型构建

决策变量：$x_1,x_2,x_3$（投资比例）
目标函数：最小化方差（风险）
$$\text{Minimize}V=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{x}_i{x}_j\cdot \text{Cov}(R_i,R_j)$$

约束条件：

1. 资金全部分配：$x_1+x_2+x_3=1$
2. 期望收益约束：$x_1\cdot E(R_1)+x_2\cdot E(R_2)+x_3\cdot E(R_3)\ge 0.15$

1.3 数据计算

通过历史数据计算得到：

• 均值向量：
  $$E(R)=[0.0890833,0.2136667,0.2345833]$$
• 协方差矩阵：
  $$\text{COV}=\left[\begin{array}{ccc}0.01080754& 0.01240721& 0.01307513\\ 0.01240721& 0.05839170& 0.05542639\\ 0.01307513& 0.05542639& 0.09422681\end{array}\right]$$

1.4 Matlab求解代码

% 读取数据
Mean = dlmread('data2.txt');
COV = dlmread('data3.txt');
% 预期收益率目标
TARGET = 0.15;
% 定义二次规划的参数
H = 2 * COV; % 二次项系数矩阵
f = zeros(size(Mean)); % 线性项系数向量
Aeq = ones(1, length(Mean)); % 等式约束系数矩阵
beq = 1; % 等式约束右侧常数
A = -Mean'; % 不等式约束系数矩阵
b = -TARGET; % 不等式约束右侧常数
lb = zeros(size(Mean)); % 变量下界
ub = []; % 变量上界
% 求解二次规划问题
options = optimoptions('quadprog','Display','iter');
X = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options);
% 输出结果
disp('最优投资比例:');
disp(X);
% 计算最小方差
min_variance = X' * COV * X;
disp(['最小方差: ', num2str(min_variance)]);
    

1.5 结果分析

最优解：

• 股票A: 53%
• 股票B: 36%
• 股票C: 11%
• 方差（风险）: 0.02241378

2. 含无风险资产的投资组合

2.1 模型扩展

引入无风险资产（如国库券，收益率5%），模型变为：
$$\text{Minimize}V=\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{x}_i{x}_j\cdot \text{Cov}(R_i,R_j)$$
约束条件新增：
$$x_1+x_2+x_3+x_4=1(x_4\text{为无风险资产比例})$$

2.2 分离定理验证

当期望收益率变化时，风险资产比例保持不变，仅无风险资产比例调整。例如：

• 期望收益15%时，无风险资产占34.1%
• 期望收益10%时，无风险资产占67.1%

2.3 Matlab代码对比

% 读取数据
Mean1 = dlmread('data2.txt');
COV1 = dlmread('data3.txt');
% 无风险资产的均值和协方差
risk_free_mean = 0.05;
risk_free_cov = 0;
% 预期收益率目标
TARGET = 0.15;
% 扩展均值向量和协方差矩阵
Mean = [Mean1; risk_free_mean];
n = length(Mean1);
COV = zeros(n + 1, n + 1);
COV(1:n, 1:n) = COV1;
% 定义二次规划的参数
H = 2 * COV; % 二次项系数矩阵
f = zeros(size(Mean)); % 线性项系数向量
Aeq = ones(1, length(Mean)); % 等式约束系数矩阵
beq = 1; % 等式约束右侧常数
A = -Mean'; % 不等式约束系数矩阵
b = -TARGET; % 不等式约束右侧常数
lb = zeros(size(Mean)); % 变量下界
ub = []; % 变量上界
% 求解二次规划问题
options = optimoptions('quadprog', 'Display', 'iter');
X = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, [], options);
% 输出结果
disp('最优投资比例:');
disp(X);
% 计算最小方差
min_variance = X' * COV * X;
disp(['最小方差: ', num2str(min_variance)]);
    

3. 结果对比与讨论

3.1 风险-收益曲线

通过MATLAB参数分析（图1），发现当期望收益超过22%时，风险显著上升。

图1 投资回报率与风险关系

clc, clear
load data2.txt, load data3.txt
h = reshape(data3, [3,3]);
a = data2';
target = 0.09;
while target < 0.234
    [x, y] = quadprog(2*h, [], -a, -target, ones(1,3), 1, zeros(3,1));
    plot(target, y, '*b');
    target = target + 0.002;
end

3.2 实际应用建议

• 保守型投资者：增加无风险资产比例
• 激进型投资者：提高高收益股票配置
• 动态调整：根据市场变化更新协方差矩阵

4. 总结

本文通过均值方差模型实现投资组合优化，验证了无风险资产的引入可有效降低风险，并通过分离定理简化配置决策。实际应用中需结合市场动态调整参数，平衡收益与风险。