【数据结构】第六章启航：图论入门——从零掌握有向图、无向图与简单图

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

【数据结构】这门课主要会学习2种结构：

• 线性结构
• 非线性结构

而线性结构中的顺序表、链表、栈、队列、串、矩阵、数组我们已经学完了。非线性结构中的树、集合我们也已经学完了。下面我们就将进入【数据结构】的最后一个非线性结构——图的学习。

在第六章——图这个章节中，我们会分为4个板块来学习：

• 图的基本概念
• 图的存储与基本操作
• 图的遍历
• 图的基本应用

从今天开始，我们会进入图的第一个板块——图的基本概念的学习。我们会在今天的内容中，知道什么是图？图有哪些分类？以及图中的一些重要概念。下面我们就一起进入今天的内容吧！！！

一、图的定义

图（Graph）是数据结构中一种重要的非线性结构，用于表示对象之间的关系。它由顶点（Vertex）​和边（Edge）​组成，能够建模复杂的关联关系，广泛应用于社交网络、路径规划、推荐系统等领域。

图 $G$ 是由顶点集 $V$ 和边集 $E$ 组成，记为$G=(V,E)$，其中 $V(G)$ 表示图 $G$ 中的顶点的有限非空集；$E(G)$ 表示图 $G$ 中顶点之间的关系（边）集合。

这里我们以上图中展示的图来进一步的认识图中的顶点与边。

所谓的顶点，就是A/B/C/D/E这些结点；边指的就是连接这些顶点的线。在一个图中，可以顶点与顶点之间可以没有线连接，即边集可以为空集；但是不存在没有顶点的图，即顶点集一定是非空集。

举一个最简单的例子，在上图中，如果我们只看结点A，其它都不看，此时的结点A就是一个图：

再说一个我们比较熟悉的例子，我们目前所学的数据结构：

• 线性结构：顺序表、链表、栈、队列、串、矩阵
• 非线性结构：
  • 树形结构：树、m叉树、森林
  • 集合
  • 并查集

这些都可以看做一种特殊图。这是因为这些数据结构都是由顶点与边构成：

• 线性结构：由n个顶点和n-1条边构成的单链路径的图，无环无分支；

• 树形结构：由n个顶点与n-1条边构成的有向无环图

• 集合：由n个顶点与0条边构成的零图

• 并查集：由多个无向无环图构成

那也就是说，只要是由顶点与将各个顶点连接起来的边就能得到图；

在图 $G$ 中，若 $V=v_1,v_2,v_3\dots \dots$ ，则我们可以用 $|V|$ 表示图 $G$ 中顶点的个数，也称为图 $G$ 的阶，$E=\{(u,v)|u\in V，v\in V\}$ ，用 $|E|$ 表示图 $G$ 中边的条数。

在线性表、树中我们都有提到过一种特殊情况——空表、空树。也就是说在线性表和树中可以什么都没有，但是在图中不行，图不存在空图。

接下来我们就来认识一下图中的一些基本概念与术语；

二、图的分类

2.1 有向图与无向图

在图中，我们根据边是否有明确的方向指示将图分为两类：

• 有向图

若E为有向边（也称弧）的有限集合，则图G为有向图。

弧是顶点的有序对，记为 $<v,w>$ 。

其中v与w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头；
$<v,w>$ 称为从v到w的弧，也称v邻接到w。

上图可表示为：
$G=(V,E)$
V = { a , b , c } V = \{a, b, c\} V={a,b,c}
E = { < a , b > , < b , c > , < c , a > } E = \{<a, b>, <b, c>, <c, a>\} E={<a,b>,<b,c>,<c,a>}

在上图中，存在3条弧：

• $<a,b>$：a为弧尾，b为弧头，a邻接到b
• $<b,c>$：b为弧尾，c为弧头，从b到c的弧
• $<c,a>$：c为弧尾，a为弧头，从c到a的弧，也叫做c邻接到a

当我们在表述一条弧时，我们采用前两种中的任意一种即可，第3条弧，我是为了给大家展示两种说法都是可行的，没有其它的含义。

• 无向图

若E是无向边（简称边）的有限集合，则图G称为无向图。

边是顶点的无序对，记为 $(v,w)$ 或 $(w,v)$ 。可以说w与v互为邻接点。

边 $(v,w)$ 依附于w和v，也可以称为边 $(v,w)$ 和v，w相关联。

上图可表示为：
$G=(V,E)$
V = { a , b , c } V = \{a, b, c\} V={a,b,c}
$E=\{(a,b),(b,c),(c,a)\}$

在上图中，有3条边：

• $(a,b)$：边 $(a,b)$ 依附于a和b
• $(b,c)$：边 $(b,c)$ 与b和c相关联
• $(c,a)$：边 $(c,a)$ 依附于a和c

在无向图中，由于没有起点与终点之分，因此我们在表述时，不需要在意顶点的先后顺序

2.2 简单图与多重图

按照边是否重复，我们可以将图分为两类：

• 简单图

一个图G若满足：

1. 不存在重复边
2. 不存在顶点到自身的边

则图G称为简单图。

像上图这种没有重复边且不存在自环的图就是简单图，前面展示的有向图与无向图都是简单图

• 多重图

与简单图相反，多重图中会存在三种情况：

1. 仅有重复边（或弧），不允许自环

像上图这种有多条重复的弧，但是没有出现自环的图就是狭义上的多重图；

2. 仅有自环，无重复边（或弧）

像上图这种存在自环，但是无重复弧的图也属于多重图，但是我们将其称为伪图；

3. 既有重复边，又有自环

像上图这种既存在重复弧，又有自环的图，就是广义上的多重图，也称为伪图。

在本章节的学习中，我们只会学习简单图，不会接触多重图，因此大家只需要对多重图有一个基本的了解即可！！！

三、生活中的图

介绍完了图的两种分类方式，接下来我们就来看一下日常生活中的图：

• 交通网络

在我们的生活中，交通网络就是一个最直白的有向图的例子，比如我们要从上海去北京，那我们就需要搭乘该方向的交通工具：

上海与北京这就是图中的两个顶点，它们之间的路径就是对应的弧；

• 人际关系网络

我们在生活中会接触各种各样的人，认识各种各样的朋友，这些交际关系组织成的网络就是一个典型的无向图：

在人际关系网中，每个人都是一个顶点，人与人之间的联系就是连接两个顶点的边；

• 思维导图

我们平时不管是在学习，还是工作中，肯定离不开思维导图，这里我们以图这个章节中的思维导图为例：

在思维导图中，各知识点就是图中的各个结点，知识点之间的逻辑关系就是连接各个结点的边（或弧）

结语

📌 今日核心要点

1. 图的定义与本质

• ​组成：由顶点集（非空）​和边集（可为空）​构成，记为 $ G = (V, E) $。
• ​不可为空：至少含一个顶点，但边可缺失（如单顶点图）。
• ​广义性：线性表、树、集合等均为图的特例（链表是单链路径图，树为有向无环图）。

2. 图的分类

按方向性

• ​有向图：边为有序弧（如 $<a,b>$），严格区分方向（弧尾→弧头）。
• ​无向图：边为无序对（如 $(a,b)$），顶点关系对称。

按边复杂度

• ​简单图：禁止重复边与自环，算法研究核心。
• ​多重图：允许重复边/自环，贴近现实场景（如交通多线路）。

3. 现实映射

• 交通路线（有向）、社交网络（无向）、知识图谱（混合）均为图的实例。

🔍 下期预告

1. 顶点连接性指标

• ​度（Degree）​：无向顶点的边数（社交活跃度）。
• ​入度（In-degree）​：有向顶点接收的弧数（影响力接收度）。
• ​出度（Out-degree）​：有向顶点发出的弧数（信息传播力）。

2. 图的连通性

• ​路径与环路：可达性判断与环路对算法的影响。
• ​连通图与连通分量：如何识别独立子结构（如社交圈层）。

3. 带权图解析

• ​边权重：量化关系的现实意义（如导航距离、通信成本）。

思考题预热：

• 如何用“出度”识别社交网络中的信息传播枢纽？
• 若某顶点的入度为0，它在系统中可能扮演什么角色？

💬 互动与支持

如果本文帮你理清了图论基础：

• 👍 ​点赞 – 鼓励更多技术分享
• ⭐ ​收藏 – 构建个人知识库
• ↗️ ​转发 – 帮助更多同行学习

你的互动是持续创作的动力！​ ✨

下期预告：深入图的量化分析，解锁顶点影响力评估与网络稳定性判据！ 🚀