定积分的应用(4.39-4.48)

前言

题目确实比较多。slow down and take your time.

4.39

狂算了一遍，然后发现不是计算出问题了，是积分上下限写错了。还有把函数代进去也出了一点问题。

点火公式一家人我不记得，只记得一个光秃秃的点火公式。感觉还是得找补一下点火公式一家人。不然过去了就永远过去了，计算速度练不上来。定积分计算 1 是第一次出现点火公式。终于找到了，定积分计算 2 ，基本的点火公式就不说了。实际上主要就是考虑函数图像的正负性。我这里还是完整地罗列一下，免得以后忘记了还有个存档。

$${\int }_0^{\pi }si{n}^{n}xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx$$,$${\int }_0^{\pi }co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx,\text{n is oven}\\ 0,\text{n is odd}\end{array}$$,
$${\int }_0^{2\pi }si{n}^{n}xdx={\int }_0^{2\pi }co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx,\text{n is oven}\\ 0,\text{n is odd}\end{array}$$
很多东西没有记到脑子里面就多学几遍。确实记住就感觉差点意思。真正的考试不会提示这个曲线就是双纽线，所以直角坐标的曲线表达式和极坐标的表达式都是记忆的重点。
$$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)$$
$$r^2=a^{2}cos2\theta$$
然后就是套公式就可以算出来了，计算量还是比较小的。

4.40

算是一个参数方程求面积的题。参数方程的题用换元法来求解。换元需要保证换元的函数是单调的。星形线：$$x=aco{s}^3\theta ,y=asi{n}^3\theta$$，解题的第一步画出图形，然后用定积分的几何意义表示出面积的表达式，然后换元法，从直角坐标换成极坐标，也可以理解为正常的换元，然后根据 $si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$ 全部表示成 $sinx$ 的次方，把积分上下限尽可能转换为 $(0,\frac{\pi }{2})$ ，然后用点火公式。

4.41

点火公式奇数的那个部分我记得不是很清楚。下面记录一下点火公式奇数部分
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{2}{3}\text{,n is odd}$$
分部积分是反对幂三指，幂函数是放在三角函数前面的，这个我经常容易搞混，然后积分到后面发现算不出来了，就是这个部分的问题。幂函数一定要放在三角函数前面，把 $d$ 作为分界点，在 $d$ 左边认为是前面，在 $d$ 右边认为是后面。$xcosx{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=0-0=0$ ，一个因子是零，让整个因子是零，这里控制得非常精准。总的来说就是两个旋转体体积公式，第一个计算用点火公式算，第二个计算用分部积分算，然后联立求解，非常常规，但是考察得我认为也算是比较综合了。完全值得五分的填空题。

4.42

$si{n}^{2}x$ 的图像，可以发现和 $sinx$ 的趋势差不多，然后把负的部分翻转到 $x$ 轴上方。


另一个图形是一个正半圆。

积分区间是 $(0,\pi )$ ，被积函数是 $x$ 和 $sinx$ ，可以把 $x$ 从被积函数里面拿出来，然后前面乘一个系数 $\frac{\pi }{2}$ ，积分区间不变。证明这个公式可用区间再现公式和移项。
$${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx$$

我傻了。一个圆，非常标准的圆，旋转就是一个球。然后球直接用球的体积公式，$V=\frac{4}{3}\pi r^3$ ，实际上积分也能积分出来，换元就是正常换元，换元要求的是 $t$ 的范围，我误以为是 $x$ 的范围，难怪搞半天也算不出来。然后后半部分的计算才是重点，不知道上面那个公式，这个题基本上就废掉了。还有点火公式一家人。上面写了点火公式一家人的公式。这题非常非常经典。

4.43

原来这种函数和 $\frac{1}{x}$ 的趋势差不多。$1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x$ ，计算失误是一个非常严重的问题。总是算错。甚至可能是只差最后一步，然后还是算错。三角换元对我个人来说是一个非常难的知识点。$cscx$ 的积分，老老实实摆在积分表里面，假设考研之前没记住就有点搞笑了。$cscx$ 是余割函数。$\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$ ,$cotx$ 是余切函数。大概就是这样。所以这题非常经典。实际上可能书上的例题大部分都非常经典。

4.44

圆锥体的体积公式： $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 。一顿操作猛如虎，然后又算错了。真得检查一遍，养成检查的习惯。哦另外也是审题错误。这题是先求面积，再求体积，我直接算的体积，然后体积也没算对。奥，因为这个体积不是绕 $x$ 轴旋转的体积。实际上绕 $x=x_0$ 旋转是薄壁空心桶的模型，假设 $x_0>0$ ，$V=2\pi {\int }_a^b(x_0-x)f(x)dx$ 是体积公式。这题真是究极折磨。

4.45

套公式，对勾函数。哦也不是对勾函数，但是是这种两个式子相乘是常数的函数

这个函数的平方和 1 做加法，可以得到另一个完全平方式子。高质量的积分题，处处是巧合。$L={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx,a<b$

4.46

星形线。可以发现星形线的最远的边就是到 a 处，然后 x 和 y 的幂指数都是等于 a 的幂指数的。星形线的直角坐标公式和参数方程公式都需要记住。直角坐标公式是 $x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}=a^{\frac{3}{2}}$，参数方程的形式是 $x=aco{s}^{3}t,y=asi{n}^{3}t$.注意到另外一个公式也可以加速计算。就是在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 这个积分区间，被积函数里面的 $sinx$ 和 $cosx$ 全部交换位置，总体的定积分的值是相等的。
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(sinx,cosx)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(cosx,sinx)dx$$，可以用区间再现公式和三角函数的性质来证明。区间再现公式是
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$$
本来以为这题能用上，实际上还是用基本方法做的。当然这些二级结论还是得记住。

4.47

旋转曲面的侧表面积还是旋转曲面的面积，这个非常重要。因为可能要加上底面的面积。然后套公式就是 $2\pi |y|L,\text{L 是弧长}$，然后求定积分。求弧长是根号下面，至少有一个导数。

4.48

最后一题了。但是怎么求曲线表达式就把我卡住了。哦哦，只有一个区域旋转得到的旋转曲面才有除了侧表面积之外的面积，正常一个曲线旋转得到的就只有侧表面积。弧长算对了，但是侧表面积还是算错了。我重新算一次试试。重新算了一遍，思路没啥问题，还是计算错误。计算。。计算。计算。好吧。这里也是用了前面那个题的，加上 1 之后，本来的对勾函数可以转换为另一个完全平方式子。就是和 4.45 一样。求表达式，对两边求导就可以求出表达式。