LeetCode 热题 100_零钱兑换（85_322_中等_C++）（动态规划）

题目描述：

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

输入输出样例：

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2³¹ - 1
0 <= amount <= 10⁴

题解：

解题思路：

思路一（动态规划）：

1、通过题目的描述需解决凑成总金额所需的最少的硬币个数，且硬币可以重复使用，这样自然而然将问题转换为了完全背包问题（金币的数量为物品的个数，金额为物品的价值）。

2、具体思路如下：
① dp[j],dp数组的含义为：放满j容量的背包，最少的物品数量。
② dp[j]=min(dp[j],dp[j-nums[i]]+1) ，等号右侧 dp[ j ]代表不放物品 i ， dp[j-nums[i]]+1 代表放物品 j 。
③ dp[0]=0,因容量为 0 的背包可以放 0 件物品
④ 因取最小值，其他的dp数组的元素值为INT_MAX，数以这里需考虑溢出的情况dp[j-nums[i]]若为INT_MAX再加一则会溢出
⑤ 因可重复使用同一金额的硬币则遍历顺序为从左到右。

3、复杂度分析：
① 时间复杂度：O(Sn)，其中 S 是金额，n 是面额数（物品的价值）。我们一共需要计算 O(S) 个状态，S 为题目所给的总金额（背包容量）。双重循环遍历 物品 和 背包。

② 空间复杂度：O(S)。dp 所需的空间 。

代码实现

代码实现（思路一（动态规划））：

class Solution{
public:
    // 定义 coinChange 函数，参数为硬币面值数组 coins 和目标金额 amount
    int coinChange(vector<int> &coins, int amount){
        // 初始化 dp 数组，大小为 amount + 1（从 0 到 amount），并将所有元素初始化为 INT_MAX
        // dp[i] 表示凑成金额 i 所需要的最少硬币数量
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);

        // dp[0] = 0，因为凑成金额 0 不需要任何硬币
        dp[0] = 0;

        // 外层循环遍历每种硬币（物品）
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++){
            // 内层循环遍历从当前硬币面值到目标金额之间的所有金额（背包）
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                // 防止数据溢出：只有当 dp[j - coins[i]] 不等于 INT_MAX 时，才进行更新
                // 这是因为如果 dp[j - coins[i]] 为 INT_MAX，表示无法凑成金额 j - coins[i]
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) {
                    // 更新 dp[j]：表示使用当前硬币后，凑成金额 j 的最小硬币数
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        
        // 如果 dp[amount] 还是 INT_MAX，表示无法凑成目标金额，返回 -1
        // 否则返回 dp[amount]，即凑成目标金额所需要的最少硬币数量
        return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
    }
};

以思路一为例进行调试

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

class Solution{
public:
    // 定义 coinChange 函数，参数为硬币面值数组 coins 和目标金额 amount
    int coinChange(vector<int> &coins, int amount){
        // 初始化 dp 数组，大小为 amount + 1（从 0 到 amount），并将所有元素初始化为 INT_MAX
        // dp[i] 表示凑成金额 i 所需要的最少硬币数量
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);

        // dp[0] = 0，因为凑成金额 0 不需要任何硬币
        dp[0] = 0;

        // 外层循环遍历每种硬币（物品）
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++){
            // 内层循环遍历从当前硬币面值到目标金额之间的所有金额（背包）
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                // 防止数据溢出：只有当 dp[j - coins[i]] 不等于 INT_MAX 时，才进行更新
                // 这是因为如果 dp[j - coins[i]] 为 INT_MAX，表示无法凑成金额 j - coins[i]
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) {
                    // 更新 dp[j]：表示使用当前硬币后，凑成金额 j 的最小硬币数
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        
        // 如果 dp[amount] 还是 INT_MAX，表示无法凑成目标金额，返回 -1
        // 否则返回 dp[amount]，即凑成目标金额所需要的最少硬币数量
        return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
    }
};

int main(int argc, char const *argv[])
{
    // 给定硬币面值数组和目标金额
    vector<int> coins = {1, 2, 5};
    int amount = 11;

    // 创建 Solution 对象
    Solution s;

    // 调用 coinChange 函数并输出结果
    cout << s.coinChange(coins, amount);
    return 0;
}

LeetCode 热题 100_零钱兑换（85_322)原题链接
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