【蓝桥杯】统计子矩阵

统计子矩阵

给定一个 N×M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1×1，最大 N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K?

输入格式

第一行包含三个整数 N,M 和 K。

之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵 A。

输出格式

一个整数代表答案。

数据范围

对于 30% 的数据，N,M≤20，
对于 70%70% 的数据，N,M≤100，
对于 100%100% 的数据，1≤N,M≤500;0≤$A_{ij}$≤1000;1≤K≤2.5×$10^8$。

输入样例：

3 4 10
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12

输出样例：

19

样例解释

满足条件的子矩阵一共有 19，包含：

• 大小为 1×1 的有 10 个。
• 大小为 1×2 的有 3 个。
• 大小为 1×3 的有 2 个。
• 大小为 1×4 的有 1 个。
• 大小为2×1 的有 3 个。

【思路分析】这道题如果用二维前缀和加枚举矩阵左上角的x，y坐标和矩阵右下角的x，y坐标的话，无法通过所有的样例，所以要想办法优化掉一层循环

我们不妨通过i，j限制子矩阵的上界和下界

然后在上下界内的一列看做是一个元素，通过一位前缀和的方式计算

因为0≤$A_{ij}$≤1000，所以可以通过l r两个指针限制矩阵的左右边界，固定r右边界，l向左移动，区间内子矩阵值减少，l向右移动，区间内子矩阵值增大

import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {
    static final int N = 510;
    static long[][] s = new long[N][N];
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] row1 = br.readLine().split(" ");
        int n = Integer.parseInt(row1[0]);
        int m = Integer.parseInt(row1[1]);
        int k = Integer.parseInt(row1[2]);
        //读入数据处理前缀和
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            String[] data = br.readLine().split(" ");
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                s[i][j] = Integer.parseInt(data[j - 1]);
                s[i][j] += s[i - 1][j];
            }
        }
        long res = 0;
        //枚举上边界和下边界
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = i; j <= n; j++) {
                //枚举左右边界
                for(int l = 1, r= 1, sum = 0; r <= m; r++) {
                    sum += s[j][r] - s[i - 1][r];
                    while(sum > k) {
                        sum -= s[j][l] - s[i - 1][l];
                        l++;
                    }
                    res += r - l + 1;
                }
            }
         }
         System.out.println(res);
         br.close();
    }
}