深度剖析循环码解码：从原理到纠错实践

一、引言

循环码作为线性分组码中的重要一员，凭借其出色的纠错和检测能力，在通信领域得到了广泛应用。本文将深入探讨循环码的解码过程，详细阐述其纠错和检测的机理。

二、循环码基础回顾

2.1 循环码的定义与性质

循环码是一类具有循环特性的线性分组码，即任一码组循环移位后仍然是该编码中的一个码组。例如，若 $(a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_0)$ 是循环码的一个码组，那么循环移位后的 $(a_{n-2}{a}_{n-3}\cdots a_0{a}_{n-1})$ 等仍然是码组。

2.2 码组的多项式表示

在代数编码理论中，将码组中的各个码元视为一个多项式的系数。一个长度为 $n$ 的码组可以表示为：
$$T(x)=a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_{1}x+a_0$$
其中 $x$ 的值无实际意义，仅用其幂代表码元的位置，这种多项式称为码多项式。

三、循环码解码的基本概念

3.1 伴随式（Syndrome）

先回顾一下编码过程：

循环码编码的原理概括来讲，是基于给定的码长 n 和信息位长度 k，从$x^n+1$的因子中选取一个$(n-k)$次的生成多项式g(x)，将信息码多项式m(x)乘以$x^{n-k}$后，用g(x)除得到余式r(x)，把r(x)作为监督位添加到信息位之后，形成能被g(x)整除的码多项式，从而实现对信息的编码。

伴随式是循环码解码中的关键概念。设发送的码多项式为 $C(x)$，接收的码多项式为 $R(x)$，错误图样多项式为 $E(x)$，则有 $R(x)=C(x)+E(x)$。

通过监督矩阵 $H$ 或生成多项式 $g(x)$ 计算接收码多项式 $R(x)$ 的伴随式 $S(x)$。对于循环码，通常用生成多项式 $g(x)$ 来计算伴随式，即 $S(x)=R(x)\mathrm{mod}g(x)$。

3.2 伴随式与错误图样的关系

伴随式 $S(x)$ 与错误图样 $E(x)$ 存在一一对应的关系（在码的纠错能力范围内）。这是因为 $$S(x)=R(x)\mathrm{mod}g(x)=(C(x)+E(x))\mathrm{mod}g(x)$$
而 $C(x)$ 是 $g(x)$ 的倍式，所以 $S(x)=E(x)\mathrm{mod}g(x)$。这意味着伴随式只与错误图样有关，不同的错误图样会产生不同的伴随式。

四、循环码解码的逻辑过程

4.1 接收码多项式的获取

接收端接收到经过信道传输后的码组，将其表示为接收码多项式 $R(x)$。

4.2 伴随式的计算

用生成多项式 $g(x)$ 去除接收码多项式 $R(x)$，得到余式，即为伴随式 $S(x)$。具体计算过程如下：
设 $R(x)=Q(x)g(x)+S(x)$，其中 $Q(x)$ 是商式，$S(x)$ 的次数小于 g ( x ) g(x)