经济金融优化：最优消费与投资分配的MATLAB实战

内容摘要

本文聚焦经济金融领域的优化问题，详细介绍最优消费和最优投资分配的理论与实践。
关键词：最优消费；最优投资分配；效用最大化；投资收益；MATLAB

一、引言

在经济金融领域，个体和企业常常面临各种优化决策问题。其中，最优消费问题关乎消费者如何在有限预算下实现消费效用最大化；最优投资分配问题则聚焦于投资者在多个投资项目中如何合理分配资金以获取最大收益。

二、最优消费问题

（一）理论基础

经济学家在研究消费者行为时发现，消费者总是追求个人消费效用最大化，而这一过程受到消费品价格和收入的约束。在现代消费者理论中，效用函数主要有两类：一类是以消费束$X$为自变量的“直接效用函数”$U(X)$，其核心思想是，只要消费者购买各种商品的数量确定，无论其他经济变量如何变化，消费者的偏好或效用大小就唯一确定；另一类是以商品价格向量$P$和消费者预算约束$m$为自变量的“间接效用函数”$V(P,m)$，它建立在直接效用函数的基础上，是消费者在$PX=m$的约束下，最大化直接效用函数$U(X)$所得到的值。

考虑个人的本期和来期的两期消费问题。设本期消费为$C_1$，来期消费为$C_2$，直接消费效用函数为$E=C_1{C}_2$。若本期收入为$M_1$，来期为$M_2$，利率为$r$，且在两期消费中可以自由借贷。设消费者在本期的借贷或储蓄为$s$，则约束条件为：
$$\{\begin{array}{l}{C}_1+s=M_1\\ s(1+r)+M_2=C_2\end{array}$$

将第二个式子中的$s$用$M_1-C_1$替换，可得目标函数为：
$$\max E=C_1{C}_2=C_1[M_2+(M_1-C_1)(1+r)]$$

（二）实例分析

假设某人本期收入为$2000$，来期收入预计为$5000$，存款利率为$12\%$。为使消费效用最大，构建优化模型为：
$$\max E(C_1)=C_1[5000+(2000-C_1)\times 1.12]$$

由于目标函数为最大值形式，为便于求解，先将其转换为最小值形式。在MATLAB中利用无约束算法中的抛物线法求解，具体代码如下：

syms t;
f = -t*(5000 + 1.12*(2000 - t));
[xm,fval] = minPWX(f,2000,5000)

运行结果为：

xm = 3.2321e+003
fval = -1.1700e+007

结果表明，当第一期消费额为$3232.1$时，第二期消费额为$5000+(2000-3232.1)\times 1.12=3620$，此时消费效用最大。注意到第一期消费额超过了本期收入，说明在第一期需要借贷。

三、最优投资分配问题

（一）理论基础

在投资期内，投资者往往面临多个投资项目的选择，且每个项目的投资规划和收益率各不相同。在资金有限的情况下，为获取最大投资收益，需要对各个项目的投资额进行优化分配。

（二）实例分析

设有4个投资机会：

• 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利$115\%$；
• 项目B：从第三年年初开始投资，到第五年年末回收本利$125\%$，但规定最大投资不超过$4$万元；
• 项目C：第二年年初需要投资，到第五年末才能回收本利$140\%$，但规定最大投资不超过$3$万元；
• 项目D：五年内每年初可买公债，于当年末归还，并加利息$6\%$。

现有一公司有资金$20$万元，要确定这些项目每年的投资额，使第五年末获得的本利总额最大。根据各项目的投资要求，列出每年年初可投资项目及对应的投资额变量如下表：

由于每年年初都将手头资金全部投出去，所以第一年应将$20$万元资金全部投给A、D两个项目，即$x_1+x_2=200000$。

第一年年底回收各项投资的本利即为第二年年初手头拥有的投资总额，将其全部投入第二年可以投资的三个项目，即$x_3+x_4+x_5=1.06x_2$。

以此类推，可得：
($x_6+x_7+x_8=1.15x_1+1.06x_5$)
($x_9+x_{10}=1.15x_3+1.06x_8$)
($x_{11}=1.15x_6+1.06x_{10}$)

目标函数为第五年年末拥有的资金总额，即$C=1.15x_9+1.4x_4+1.25x_7+1.06x_{11}$。

因此，此投资问题的优化模型为：
$$\max C=1.15x_9+1.4x_4+1.25x_7+1.06x_{11}$$
$$\text{s.t.}\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=200000\\ x_3+x_4+x_5=1.06x_2\\ x_6+x_7+x_8=1.15x_1+1.06x_5\\ x_9+x_{10}=1.15x_3+1.06x_8\\ x_{11}=1.15x_6+1.06x_{10}\\ x_4\le 40000,x_7\le 30000\\ x_i\ge 0,i=1,2,\cdots ,11\end{array}$$

由于目标函数为最大值形式，将其转换为最小值形式，然后用MATLAB的linprog函数求解，具体代码如下：

f = [0;0;0;-1.4;0;0;-1.25;0;-1.15;0;-1.06];
Aeq = [1 1 zeros(1,9);0 -1.06 1 1 1 zeros(1,6);
       -1.15 0 0 0 -1.06 1 1 1 0 0 0;
       0 0 -1.15 0 0 0 0 -1.06 1 1 0;
       zeros(1,5) -1.15 zeros(1,3) -1.06 1];
beq = [200000;zeros(4,1)];
lb = zeros(1,11);
ub = [inf*ones(1,3) 40000 inf inf 30000 inf*ones(1,4)];
[x,fval,exitflag,output] = linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)

运行结果为：

x = 1.0e+005 *
    1.1032
    0.8968
    0.5506
    0.4000
    0.0000
    0.5818
    0.3000
    0.3869
    1.0433
    0.0000
    0.6691
fval = -2.8440e+005

根据计算结果，得到最优投资方案如下：

四、总结

本文深入探讨了经济金融领域中的最优消费和最优投资分配问题。通过建立相应的数学模型，并利用MATLAB工具进行求解，为解决实际经济金融决策问题提供了有效的方法。