一，定义
通常，对于一个给定的算法，我们要做 两项分析。第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明 的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间 复杂度。算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优 劣与否。因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。 算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
1.1时间频度
时间频度 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能 也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
1.2时间复杂度
在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n 不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概 念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使 得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作
T(n)=Ｏ(f(n)),称 Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
另外，上面公式中用到的 Landau符号其实是由德国数论学家保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作 《解析数论》首先引入，由另一位德国数论学家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推广。Landau符号的作用在于用 简单的函数来描述复杂函数行为，给出一个上或下（确）界。在计算算法复杂度时一般只用到大O符号，Landau符 号体系中的小o符号、Θ符号等等比较不常用。这里的O，最初是用大写希腊字母，但现在都用大写英语字母O；小o 符号也是用小写英语字母o，Θ符号则维持大写希腊字母Θ。 T (n) = Ο(f (n)) 表示存在一个常数C，使得在当n趋于正 无穷时总有 T (n) ≤ C * f(n)。简单来说，就是T(n)在n趋于正无穷时最大也就跟f(n)差不多大。也就是说当n趋于正无穷 时T (n)的上界是C * f(n)。其虽然对f(n)没有规定，但是一般都是取尽可能简单的函数。例如，O(2n2+n +1) = O (3n2+n+3) = O (7n2 + n) = O ( n2 ) ，一般都只用O(n2)表示就可以了。注意到大O符号里隐藏着一个常数C，所以 享学课堂 f(n)里一般不加系数。如果把T(n)当做一棵树，那么O(f(n))所表达的就是树干，只关心其中的主干，其他的细枝末节 全都抛弃不管。 在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不 相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为 O(n2)。 按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶 O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复 杂度不断增大，算法的执行效率越低。
从图中可见，我们应该尽可能选用多项式阶O(nk)的算法，而不希望用指数阶的算法。
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) 一般情况下，对一个问题（或一类算法）只需选择一种基本操作来讨论算法的时间复杂度即可，有时也需要同时考虑 几种基本操作，甚至可以对不同的操作赋予不同的权值，以反映执行不同操作所需的相对时间，这种做法便于综合比 较解决同一问题的两种完全不同的算法。
求解算法的时间复杂度的具体步骤是：
⑴ 找出算法中的基本语句；
算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。
⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；
只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可 以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。
⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。
将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。 如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的 时间复杂度相加。
for (i=1; i<=n; i++)
x++;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;
第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为 Ο(n+n2)=Ο(n2)。
Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。其 中Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普 遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法，把这类问题称为P（Polynomial,多项式）类问题，而把后 者（即指数时间复杂度的算法）称为NP（Non-Deterministic Polynomial, 非确定多项式）问题。 一般来说多项式级的复杂度是可以接受的，很多问题都有多项式级的解——也就是说，这样的问题，对于一个规模是 n的输入，在n^k的时间内得到结果，称为P问题。有些问题要复杂些，没有多项式时间的解，但是可以在多项式时间 里验证某个猜测是不是正确。比如问4294967297是不是质数？如果要直接入手的话，那么要把小于4294967297的 平方根的所有素数都拿出来，看看能不能整除。还好欧拉告诉我们，这个数等于641和6700417的乘积，不是素数， 很好验证的，顺便麻烦转告费马他的猜想不成立。大数分解、Hamilton回路之类的问题，都是可以多项式时间内验 证一个“解”是否正确，这类问题叫做NP问题。
二，复杂度具体分析
2.1 O(1)
Temp=i; i=j; j=temp; 以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数 阶，记作T(n)=O(1)。注意：如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行 时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
2.2 O(n2)
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n+1次）
for(j=1;j<=n;j++) （n2次）
sum++； （n2次）因为Θ(2n2+n+1)=n2（Θ即：去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到），所以T(n)= =O(n2)；
for (i=1;i<n;i++){
y=y+1;
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++;
}
语句1的频度是n-1 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n2-n-1 f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2；
又Θ(2n2-2)=n2 该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).
一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移 等成分，当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。
2.3 O(n)
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++){ ②
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
2.4 O(log2n)
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②语句1的频度是1, 设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)=log2n, T(n)=O(log2n )
2.5 O(n3)
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<i;j++){
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1= (m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n3).
三，案例
3.1 案例一
某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。
示例 1：
输入：records = [0,1,2,3,5] 输出：4
如果遇到排序数组的话，我们首先考虑的就是二分法解决，不要想着去for循环，因为采用for循环的话，时间复杂度至少是O(n)
1, 初始化： 左边界 i=0 ，右边界 j=len(records)−1 ；代表闭区间 [i,j] 。
2,循环二分： 当 i≤j 时循环 （即当闭区间 [i,j] 为空时跳出)
- 计算中点 m=(i+j)/2
- 若 records[m]=m ，则 “右子数组的首位元素” 一定在闭区间 [m+1,j] 中，因此执行 i=m+1；
- 若 records[m]≠m ，则 “左子数组的末位元素” 一定在闭区间 [i,m−1] 中，因此执行 j=m−1；
3，返回值： 跳出时，变量 i 和 j 分别指向 “右子数组的首位元素” 和 “左子数组的末位元素” 。因此返回 i 即可。
代码如下：
class Solution {
public int takeAttendance(int[] records) {
int i =0;
int j =records.length-1;
while(i<j){
int m =((i+j)/2);
if(records[m] ==m){
i=m+1;
}else {
j=m-1;
}
}
return i;
}
}时间复杂度为O(logN) ，小于O(n)
3.2 案例二
设备中存有 n 个文件，文件 id 记于数组 documents。若文件 id 相同，则定义为该文件存在副本。请返回任一存在副本的文件 id。
示例 1：
输入：documents = [2, 5, 3, 0, 5, 0] 输出：0 或 5
下面我们看一个复杂度比较高的算法：
class Solution {
public int findRepeatNumber(int[] nums) {
int count = 0, i = 0, j = 0;
for(i = 0; i < nums.length; i++){
for(j = i+1; j < nums.length; j++){
if(nums[i] == nums[j]){
count ++;
break;
}
}
if(count > 0) break;
}
return nums[i];
}
}这个算法的时间复杂度为 O(n2) 一般我们是不会这样去做的
下面是一个时间复杂度为O(n)的算法：
class Solution {
public int findRepeatNumber(int[] nums) {
int i = 0;
while(true){
int m = nums[i];
int n = nums[m];
if(m == i){
++i;
}else if(n == m){
return m;
}else{
nums[m] = m;
nums[i] = n;
}
}
}
}所以说了解时间复杂度优化算法会大幅度提高程序的运行效率.