本届妈杯竞赛各赛题难度均已经达到了国赛难度，也更好的回应了大家更为关心的，在当前AI环境下，似乎“数学建模变成了AI使用竞赛一样”。但是国委会一直以来都是一个态度：AI现在是无法直接解决任何一个国赛赛题的。对应的如今这句话也可以应用于本届MathorCup 数学应用挑战赛。本文将使用将会简略的介绍每个题目题目、涉及模型、后续求解中可能遇到的难点。以便大家能够快速完成选题。
备注：本届竞赛各赛题都不简单，都需要大家真正的用心去了解题目背景、学习题目解题所需知识。提前预祝大家竞赛顺利！
赛题难度A:B:C:D=5:4.5:4:3.5
选题人数A:B:C:D=1:3:4:6
一图流如下所示
A题：汽车风阻预测
问题 1：目标函数优化
示例代码
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# 定义目标函数
def objective(theta):
return np.exp(theta) - np.log(theta)
# 使用优化工具求解最小值
result = minimize(objective, 100, bounds=[(0.1, None)]) # 设置边界防止log(0)的问题
print("Optimal theta:", result.x)
问题 2：数据读取和处理
题目要求：
对于高雷诺数湍流下的汽车风阻压力数据，简化汽车模型的几何表面进行数据读取和处理，并使用飞桨深度学习框架进行数据加载器的构建。
解题思路：
1．读取数据：从提供的数据中提取关键的几何特征和物理信息。通常，数据包括点坐标和压力向量，需要进行合适的预处理和归—化。
2．数据处理：使用飞桨框架的数据处理工具，如 paddle．io．Dataset 和 paddle．io．DataLoader，来实现多进程异步加载。需要将原始数据格式（如 csv，txt 或 h5）转化为飞桨支持的格式。
3．构造数据加载器：设计数据加载器时，需要关注以下几点：
·数据归一化：将几何坐标和压力数据进行适当的归一化处理。
·批处理：使用数据加载器进行批处理，提升训练效率。
·异步加载：确保数据加载不成为训练过程的瓶颈。
import paddle
from paddle.io import Dataset, DataLoader
class CarDataset(Dataset):
def __init__(self, data_path):
# 读取并处理数据
self.data = load_data(data_path)
def __getitem__(self, index):
# 获取某一项数据
return self.data[index]
def __len__(self):
return len(self.data)
# 数据加载器
dataset = CarDataset('data_path')
dataloader = DataLoader(dataset, batch_size=32, shuffle=True, num_workers=4)
for batch in dataloader:
# 执行训练步骤
pass
问题 3：构建算子神经网络
题目要求：
尝试构建一个算子神经网络（如 KAN，PINN等）并使用飞桨实现玔练。
解题思路：
1．选择合适的模型：
KAN（Kolmogorov－Arnold Network）：适用于处理非线性动力学问题。
PINN（Physics Informed Neural Network）：适用于带有物理约束的问题，可以结合物理规律来约束神经网络的输出。
2．定义神经网络架构：设计一个适合此问题的网络架构。一般来说，可以使用多层感知机（MLP）来近似复杂的非线性关系，结合合适的激活函数。
3．损失函数设计：需要根据预测的压力场与实际压力场之间的差异来设计损失函数，可以采用L2损失来衡量预测误差。
4．训练过程：使用飞桨框架进行训练，并通过多次实验调节超参数（如学习率，层数，节点数等）。
B题：音智策引迁程，老城焕新颜
问题一：搬迁补偿建模
1．面积补偿
－条件：居民搬迁后，迁入地块的面积不能比现居地块更小，开发商最多提供面积比原来多
的产权地块。
－补偿设计：我们可以根据居民当前的居住面积和新居住地块的面积来计算补偿。如果新地块面积大于现有地块，可以设置一个最大补偿值，这可以通过计算每平米的补偿来决定。
－公式：假设当前地块面积为
，迁入地块面积为
，则面积补偿为：
2．采光补偿
·条件：迁入地块的采光不能比现居地块更差，采光根据地块的朝向来决定，南北向优于东西向。
·补偿设计：根据不同朝向的舒适度，分配采光补偿。例如，正南和正北的补偿值较高，东西向和西厢房补偿值较低。
·公式：
·正南／正北：高补偿
·东西向：中等补偿
·西厢房：低补偿
3．修缮补偿
·条件：如果搬迁地块的面积和采光补偿不足以推动居民搬迁，开发商可以考虑修繕翻新。
·补偿设计：每个居民的修繕补偿上限为 20 万元。若搬迁后居民未能得到足够的面积和采光补偿，开发商可以选择为其提供修缮补偿。
4．影响因素
除了面积，采光和修缮补偿外，还需考虑以下因素：
·地块位置：离街道的距离越近，越便利，可能会吸引居民迁移。
·周边环境：如周边的房屋密集程度，交通便利性，绿化程度等。
·居民心理价位：一些居民更注重居住环境的舒适度（如采光，噪音水平），而一些居民可能更关心搬迁后的便利性。
5．定性／定量分析
－地块离街道的距离和周边环境影响居民的搬迁意愿。越靠近主街道或繁华地段，居民可能会更愿意接受搬迁。
问题二：整院面积最大
1．优化目标
目标是腾出尽可能多的完整院落，并尽量使这些院落相互毗邻，从而提升出租价值。需要设计搬迁决策，使得搬迁后的院落面积最大。
2．约束条件
·面积补偿：每个居民搬迁时，迁入地块的面积不能小于现有地块的面积，最多只能增加
。
·采光补偿：根据朝向给出补偿，迁入后的采光不应比现有地块差。
·修繕补偿：如果面积或采光补偿不足，提供修缮补偿。
3．舷迁决策模型
·我们可以构建一个整数规划模型，其中：
·变量：每个居民是否搬迁，䒃迁到哪个院落，以及是否需要修橏补偿。
·目标函数：最大化腾出的整院面积，并尽可能使这些整院相互毗邻。
·约束条件：满足面积，采光和修缮补偿条件。
4．模型实现
我们可以利用整数规划（如使用Python中的 PuLP 库）来求解最优搬迁方案。
from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable
# 假设每个院落和居民的基本数据
院落数据 = {
"院落1": {"面积": 100, "补偿面积": 10, "采光": "南", "可修缮": True},
"院落2": {"面积": 80, "补偿面积": 5, "采光": "北", "可修缮": False},
# 继续定义所有院落
}
# 目标：最大化腾出的整院面积
模型 = LpProblem("最大化整院面积", LpMaximize)
# 定义决策变量
决策变量 = {
"居民1": LpVariable("居民1", 0, 1, cat='Binary'),
# 定义其他居民的决策变量
}
# 目标函数：最大化面积
模型 += sum([院落["面积"] * 决策变量[居民] for 居民, 院落 in 院落数据.items()])
# 约束条件：面积、采光、修缮补偿等
# 示例：面积补偿约束
模型 += sum([院落["补偿面积"] * 决策变量[居民] for 居民, 院落 in 院落数据.items()]) <= 30
# 求解
模型.solve()
问题三：性价增益的搬迁拐点计算
1．目标
计算般迋的投资回报率（IRR）及性价比（m）。判断是否存在性价增益的拐点。
2．定义性价比
性价比
可以定义为：
需要根据般迁前后的租金收益和搬迁成本进行计算。
3．评估拐点
·在某些情况下，随着搬迋进程的推进，可能会存在一个拐点，即继续般迁带来的收益增加变得缓慢。
·需要分析不同阶段的搬迁带来的性价比，找出拐点。
4．计算拐点
－通过模拟不同搬迁方案，计算每个方案的性价比，并找出性价比下降的拐点。
问题四：老城区平移置换决策软件设计
1．输入参数
·地块信息：包括每个地块的面积，朝向，是否已经搬迋，周边环境等。
·居民信息：包括居民的搬迁意愿，对面积，采光等的需求。
·开发商信息：包括预算，搬迁成本，修善补偿等。
2．计算步骤
1．输入地块和居民信息，计算每个居民的搬迁补偿。
2．根据补偿和其他约束条件，设计搬迁决策。
3．计算最大化整院面积的搬迁方案。
4．评估每个方案的性价比，找出最佳方案。
3．软件恇架
·前端：用户输入地块，居民信息等，展示搬迁方案。
·后端：基于整数规划求解最优搬迁方案，并计算性价比。
·数据库：存储地块，居民信息以及搬迁进度。
C题音频文件的高质量读写与去噪优化
问题 1：音频格式存储效率与音质保真度的综合评价指标
解题思路：
1．目标：设计一个综合评价指标，用于量化不同音频格式（WAV，MP3，AAC等）在存储效率与音质保真度之间的平衡关系。
2．考虑的因素：
－文件大小（存储空间占用）：存储文件的大小直接影响存储效率。压缩算法的压缩率是一个关键参数。
－音质损失（音质保真度）：评估压缩后音频与原始音频的差异。可以使用信噪比（SNR），均方误差（MSE），频谱失真等来衡量音质损失。
－编解码复杂度：不同的编码格式和参数对计算资源的消耗不同。可以考虑编码和解码的时间复杂度，内存使用等。
－适用场景：不同的音频格式适用于不同的应用场景。例如，MP3适用于流媒体传输，WAV适用于专业录音等。
3．设计综合指标：一个可能的综合评价指标可以是加权的线性组合：
综合得分
存储效率
音质保真度
编解码复杂度
适用场景
其中
是各项因素的权重，可以根据不同应用需求进行调整。
4．衡量音质损失：使用SNR（信噪比）或者PSNR（峰值信噪比）来评估音质损失。
问题 2：音频参数对音质和文件大小的影响分析
解题思路：
1．目标：设计音频文件的性价比指标，分析采样率，比特深度，压缩算法等参数对音频质量和文件大小的影响，并给出最佳参数推荐。
2．参数分析：
采样率：影响音频频率范围，采样率越高，音质越好，但文件大小也更大。
比特深度：决定每个采样点的精度，较高的比特深度可以捕捉更多的声音细节，但也增加文件大小。
压缩算法：不同的压缩算法（如MP3，AAC，FLAC）具有不同的压缩效率和音质损失。
3．设计性价比指标：性价比指标可以定义为：
可以使用SNR，PSNR等作为音质的度量。
4．给出最佳参数推荐：根据分析，针对语音和音乐分别推荐最佳的参数组合。语音通常不需要太高的采样率和比特深度，而音乐则需要更高的音质保真度。
问题 3：自适应编码方案
解题思路：
1．目标：设计一个自适应编码方案，能够分析输入音频的特征（如语音／音乐类型，频谱特点，动态范围），并据此自动选择最佳编码参数。
2．方案设计：
－音频特征分析：可以使用频谱分析和时域分析，判断音频的类型（如语音，音乐等），并根据频谱的特点（如低频，高频分布）来选择合适的压缩参数。
－动态范围：通过动态范围压缩技术，可以有效调整音频的音量，确保音频的整体清晰度和均衡感。
3．编码方案：设计一个自适应算法，结合音频特征选择最优的压缩参数。对于语音，选择较低的比特率和采样率；对于音乐，选择较高的比特率和采样率。
4．实验对比：使用附件中的音频样本进行实验，比较自适应编码方案与固定参数方案在文件大小和音质保真度上的改进。
问题 4：去噪策略和自适应算法设计
解题思路：
1．目标：针对不同噪声类型（如背景噪声，突发噪声，带状噪声等），设计改进的去噪策略或自适应算法。
2．噪声特征分析：使用时频分析（如STFT）来识别音频中的噪声类型。噪声的频谱特征在不同噪声类型下有所不同：
·背景噪声：低频段的噪声，通常是恒定的。
·突发噪声：高频段的噪声，通常是瞬时的。
·带状噪声：集中在某一频带的噪声。
3．去噪算法：设计一种基于时频域的去噪方法，结合小波变换或谱减法来去除噪声。
·小波变换：通过分解信号，去除噪声后重构信号。
·谱减法：通过估计噪声谱，并从总信号谱中减去噪声谱来去噪。
4．去噪效果评估：
－计算去噪后的信噪比（SNR），比较去噪前后的音质改进。
5．去噪后的音频保存：处理完成后，保存去噪后的音频文件，并进行后续分析。
D题短途运输货量预测及车辆调度问题
问题 1：货量预测模型及拆解到10分钟颗粒度
解题思路：
1．目标：
需要建立一个货量预测模型，预测末来一天（12月15日14：00至12月16日14：00）每条线路的货量，并将其拆解为 10 分钟的颗粒度数据。此数据需要准确反映每条线路在各时间段的运输需求。
2．数据分析与预处理：
·历史数据：通过分析历史数据（如附件2中的历史包裹量）来理解每条线路的货量趋势。
·预知数据：基于附件 3 中的未来一天的预知数据，结合历史数据来进行预测。
·时间序列模型：可以选择ARIMA（自回归积分滑动平均）模型，LSTM（长短时记忆网络）等深度学习方法来进行货量预测，考虑季节性波动，每日高峰等因素。
3．模型选择：
·ARIMA模型：适用于时间序列预测，能够根据历史数据的趋势和季节性进行预测。
·LSTM模型：如果数据有较强的非线性关系，LSTM能更好地处理长期依赖问题。
·模型训练与验证：训练模型并验证预测精度。可以使用过去几天的历史数据作为训练集，然后使用交叉验证来选择最佳模型。
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
# 假设已经加载了历史数据并进行了预处理
data = pd.read_csv('historical_data.csv', parse_dates=['date'], index_col='date')
data = data.resample('D').sum() # 以日为单位聚合数据
# 选择ARIMA模型
model = ARIMA(data, order=(5, 1, 0)) # ARIMA(p, d, q)
model_fit = model.fit()
# 预测未来一天的货量
forecast = model_fit.forecast(steps=24) # 预测未来24小时
# 将预测结果拆分到10分钟颗粒度
forecast_10min = [forecast[i // 6] for i in range(24 * 6)] # 每小时预测6个时间段（10分钟颗粒度）
问题 2：运输需求的确定与车辆调度
解题思路：
1．从预测结果到运输需求：
·每条线路的货量预测结果可以直接转化为运输需求，每个需求需要一定数量的车辆才能完成。
·由于每车次的装载量固定（ 1000 个包裹），可以根据每个 10 分钟颗粒度的货量来计算所需车次。
2．车辆调度：
·每个需求的发运时间不能晚于线路的最晚发运时间。
·自有车的周转率要尽可能高，减少外部承运的需求。
·如果当前自有车无法满足需求，可以将需求转交给外部承运商。
3．优化目标：
·最大化自有车的使用率：优化调度使得自有车辆能够最大程度地周转。
·最小化总成本：除了自有车辆，外部承运商的使用会增加额外的成本，因此要尽量减少外部承运。
车辆调度模型：
·使用启发式算法（如贪心算法）来尽量优化车辆的调度，确保尽量多的需求使用自有车。
·如果某些需求无法在自有车周转的时间内完成，可以考虑串点调度，即将多个线路的包裹合并，使用一辆车同时运送多个目的地的包裏。
问题 3：标准容器的使用对调度的影响
解题思路：
1．容器影响：
使用标准容器能够提升自有车辆的利用率，因为装卸时长显著缩短，但会降低单车的装载量（从 1000 个包裏降至 800 个）。
2．优化调度：
根据预测结果，重新计算运输需求并选择是否使用标准容器。如果使用标准容器能提高车辆周转率或降低总成本，则应优先使用。
3．优化目标：
·对比使用标准容器与不使用标准容器的效果，选择最优的方案。
·根据运输需求判断是否使用标准容器。
问题4：货量预测偏差的影响评估
解题思路：
1．预测偏差评估：
在问题1中使用的预测模型可能会存在偏差，这会影响后续的调度效果。可以通过模拟预测偏差对运输需求和车辆调度的影响，评估偏差的影响范围。
2．评估模型：
通过对不同的货量预测结果（包含一定的噪声或偏差）进行多次模拟，评估这些偏差对车辆调度和成本的影响