数据结构：树（Tree）

目录

为什么需要树？

🌱 基本的树结构定义 

什么是树？

树的术语

🌿 常见基本树的变体

🌳 二叉搜索树（BST） 

🌲 自平衡二叉搜索树

1. AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）

2. 红黑树（Red-Black Tree）

红黑树 vs AVL 树

为什么需要树？

在现实世界中，数据常常不是一维的。比如公司组织架构、家谱、操作系统的文件系统……它们都存在「层级关系」。

那么，从信息最基本的构成来说，如何表示这种「一对多」和「嵌套式」的结构？

 用图（Graph）：抽象实体（节点）+ 它们之间的关系（边）

 特殊的图——无环、连通、有根、层级明确的图，就是我们所说的：

🎄 树结构（Tree）

🌱 基本的树结构定义 

什么是树？

• 一棵树是一个由节点组成的数据结构，满足：

  • 有一个“根节点”

  • 每个节点有 0 个或多个子节点

  • 无环（无回路）

  • 每个子节点只能有一个父节点

树的术语

🌿 常见基本树的变体

1. 二叉树 Binary Tree

• 每个节点最多有两个子节点（左、右）

• 是所有高级树结构的基础

2. 满二叉树 Full Binary Tree

• 每个节点要么有两个子节点，要么是叶子节点

3. 完全二叉树 Complete Binary Tree

• 每一层都被填满，最后一层从左到右填满

4. 平衡二叉树 Balanced Binary Tree

• 任意节点左右子树高度差不超过 1

🌳 二叉搜索树（BST） 

定义：

一个有序的二叉树结构

满足所有左子树上的节点值 < 根节点 < 所有右子树上的节点值

操作：

• 插入：从根开始递归查找插入点

• 查询：类似于二分查找，效率高

• 删除：三种情况（无子节点、一个子节点、两个子节点）

时间复杂度：

❗问题：

• 如果连续插入有序数据：BST 会退化为链表，导致性能下降！

🌲 自平衡二叉搜索树

为了解决 BST 退化的问题，引入了自动保持平衡的机制，主要有两类代表：

1. AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）

• 每个节点维护一个“平衡因子”= 左右子树高度差

• 超过 ±1 就进行旋转修复（左旋、右旋、左右旋、右左旋）

• 查找非常快，但插入/删除开销大（频繁旋转）

2. 红黑树（Red-Black Tree）

定义：

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，其每个节点多了一个“颜色属性”【红 或 黑】，并且满足以下五条性质：

🎯 五大性质（核心）：

1. 每个节点不是红就是黑

2. 根节点是黑色

3. 每个叶子节点（NIL 节点）是黑色

4. 如果一个节点是红的，则它的子节点必须是黑的（不能有两个连续红节点）

5. 从任一节点到其叶子节点的路径上，黑色节点的数量必须相同

操作原理（通过旋转和变色维护这五条规则）：

• 插入：默认插入红色节点，可能破坏“连续红”或“黑高一致性”，通过：

  • 情况分类（叔叔红/黑 + 父红）

  • 局部旋转和变色修复

• 删除：更复杂，重点在维持黑高一致性

 时间复杂度：

实际应用：

• Java 的 TreeMap / TreeSet

• Linux CFS 调度器（完全公平调度）

• C++ STL 中的 map 和 set

红黑树 vs AVL 树