山东大学计算机图形学期末复习整理5—

CG10上

Frenet-Serret框架

空间中一条曲线可以写成参数形式：

$\mathbf{C}(u) = (x(u), y(u), z(u))$
这表示：当参数 $u$ 变化时，曲线在三维空间中移动，生成一条轨迹。每个参数值 $u_0$ 对应一个点 $\mathbf{p} = \mathbf{C}(u_0)$ 。
切线向量 T（Tangent Vector）

定义为曲线的一阶导数：
$\mathbf{C}_u = \frac{d\mathbf{C}(u)}{du}$
它表示曲线在点 $\mathbf{p} = \mathbf{C}(u_0)$ 处的“切线方向”，也就是“曲线在这个点要往哪里走”的方向。

单位切线向量记作：
$\mathbf{T} = \frac{\mathbf{C}_u}{\|\mathbf{C}_u\|}$
二阶导数 C_uu 与曲率信息

曲线的二阶导数：
$\mathbf{C}_{uu} = \frac{d^2 \mathbf{C}(u)}{du^2}$
它反映了“切线变化的速度”，也就是曲率方向。但注意：它不一定垂直于切线。
如何从 C_uu 得到“法线向量 N”

因为 $\mathbf{C}_{uu}$ 不一定与切线垂直，所以我们要把它正交化，也就是去掉它在切线方向上的分量：
$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{C}_{uu} - (\mathbf{T} \cdot \mathbf{C}_{uu}) \mathbf{T}}{\|\mathbf{C}_{uu} - (\mathbf{T} \cdot \mathbf{C}_{uu}) \mathbf{T}\|}$
副法线的定义：

副法线（Binormal）是一个向量，与切线 T 和法线 N 都垂直，它保证了一个右手坐标系的存在。
$\mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}$
也可以用一个更直接的定义来算：
$\mathbf{B} = \frac{\mathbf{C}_u \times \mathbf{C}_{uu}}{\|\mathbf{C}_u \times \mathbf{C}_{uu}\|}$
它本质上描述了曲线弯曲所在的平面法向量。
三个向量构成 Frenet-Serret 框架
- $\mathbf{T}$ ：切线，方向
- $\mathbf{N}$ ：法线，朝向曲率中心
- $\mathbf{B}$ ：副法线，保证三维正交系统
这个三元组 $\mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}$ 就叫做Frenet-Serret Frame，在计算机图形学、机械臂、路径规划中非常常见。
切向量：

对参数曲面 $S (u, v)$ ，求偏导：
- $\partial_u S = \frac{\partial S}{\partial u}$ 是曲面沿 u 方向的切向量；
- $\partial_v S = \frac{\partial S}{\partial v}$ 是曲面沿 v 方向的切向量。
这两个向量定义了曲面在点 $S (u, v)$ 处的“局部方向”。

切平面：

由这两个切向量张成的平面称为切平面，它是曲面在该点的一阶近似，即局部的“平面化”。

任何落在这个切平面上的向量都可以表示为：
$\cdot \partial_u S + b \cdot \partial_v S$
法向量（Normal Vector）

$\mathbf{n} = \partial_u S \times \partial_v S$
通常会单位化，得：
$\hat{\mathbf{n}} = \frac{\partial_u S \times \partial_v S}{\|\partial_u S \times \partial_v S\|}$
曲面微分属性
- 法平面（Normal Plane）：
  
  在一个曲面点处，通过该点和法向量方向构成的平面。
- 法截线（Normal Section）：
  
  法平面与曲面相交得到一条曲线，称为法截线。它描述了曲面在该方向上的“弯曲性”。
- 法曲率（Normal Curvature）：
  
  法截线的曲率称为法曲率。因为通过一个点有无数个方向（即无数个法平面），所以有无数个法曲率。
主曲率与主方向（Principal Curvatures & Directions）

主曲率：

在所有方向上的法曲率中，有两个极值：
- 最大的称为 $K_{\max}$
- 最小的称为 $K_{\min}$
它们分别沿着某两个正交方向，称为主方向。

主曲率定义了曲面在该点的最大/最小弯曲强度。

各向同性与各向异性（Isotropic vs Anisotropic）

各向同性：

如果曲面在该点处的所有方向的法曲率都一样，即：
$K_{\max} = K_{\min} > 0$
那么该点是各向同性的，比如球面上的任意点，向任何方向看都一样。
- 特例：如果 $K_{\max} = K_{\min} = 0$ ，那该点是平坦的，例如平面。

各向异性：

如果两个主曲率不同，说明表面在不同方向上的弯曲程度不同，即各向异性，并分为：

类型	条件	例子
椭圆型	$K_{\min} > 0, K_{\max} > 0$	椭球表面
抛物型	$K_{\min} = 0, K_{\max} > 0$	抛物面
双曲型	$K_{\min} < 0, K_{\max} > 0$	马鞍面

主曲率的计算：

通常来自于一个称为**形状算子（Shape Operator）**的矩阵，它是法向量随参数方向变化的度量，求其特征值可得主曲率。

在计算中经常用：
$K_{\max}, K_{\min} = \text{eigvals}(S)$
高斯曲率（Gaussian Curvature）：

$K_{\min} \cdot K_{\max}$
- 如果 $K > 0$ ：像球一样凸；
- 如果 $K < 0$ ：像马鞍一样弯；
- 如果 $K = 0$ ：平坦或呈抛物型。
平均曲率（Mean Curvature）：

$\frac{1}{2}(K_{\min} + K_{\max})$

它衡量的是整体的弯曲程度，常用于表面平滑（如 Laplace 平滑）和模拟物理形变。

网格质量（Mesh Quality）
- 定义：
  
  网格质量描述了一个几何模型的离散表示（通常是三角网格）在几何、光滑性、拓扑规则性和可视性等方面的优劣。
  
  高质量网格意味着：
  - 表面平滑；
  - 形状还原真实；
  - 无严重畸变；
  - 可支持高质量渲染或数值模拟。
- 网格质量的几何度量
  
  (1) 弯曲能量（Strain Energy）
  
  公式：
  $\int_S (\kappa_1^2 + \kappa_2^2) \, dA$
  - $\kappa_1, \kappa_2$ ：主曲率；
  - $d A$ ：曲面上的面积元素。
  含义：
  - 这是衡量表面“弯曲强度”的能量；
  - 弯曲越剧烈，能量越大；
  - 平滑表面能量低，尖锐区域能量高。
  📌 应用：用于光滑化算法或曲面重建中，控制曲率突变。
  
  (2) 曲率变化量（Variation of Curvature）
  
  $\int_S \left( \left( \frac{\partial \kappa_1}{\partial t_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial \kappa_2}{\partial t_2} \right)^2 \right) dA$
  - 表示曲率随某一方向（如切向）变化的剧烈程度。
  用途：
  - 检测表面是否过于“起伏不定”；
  - 过大的变化常表示几何噪声或采样不良。
- 网格质量的视觉评估方法
  
  我们无法总是计算积分能量，因此常使用图形学视觉工具进行直观判断。
  
  (1) 镜面高光（Specular Shading）
  - 模拟真实光照产生的高光区域；
  - 表面平滑 → 高光连续；
  - 表面不平滑 → 高光断裂或斑驳。
  高光是对法向量连续性的“放大镜”。
  
  (2) 反射线（Reflection Lines）
  - 虚拟“反射条纹”模拟物体映射周围环境；
  - 条纹不连续、破碎 → 表面不光滑；
  - 可检测高阶法向量变化。
  反射线的可微性比曲面低一阶（如果曲面是 $C^2$ ，反射线是 $C^1$ ），对法向不连续极其敏感。
  
  (3) 平均曲率与高斯曲率可视化
  - 平均曲率 $H$ ：
    - $\frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2}$
    - 高值区域表示鼓起或凹陷。
  - 高斯曲率 $K$ ：
    - $\kappa_1 \cdot \kappa_2$
    - 用于识别曲面类型（球面、鞍面等）
- 网格质量原则（Principles）
  
  总结所有度量和可视化方法，抽象为四大原则：
  
  (1) 光滑性 Smoothness
  - 表面应无法向突变；
  - 曲率连续，避免尖角或高频振动；
  - 关键指标：平均曲率、反射线连续性。
  (2) 低噪声 Low Geometric Noise
  - 指网格点无“跳动”；
  - 常由扫描误差或压缩失真引起；
  - 滤波和平滑算法可减少噪声。
  (3) 网格规则性（Regularity）
  - 网格元素（如三角形）应尽可能接近理想形状（等边）；
  - 避免出现“长针”“瘦帽”等畸形三角形。
  形状分析：
  - Circumradius / shortest edge：
    - 外接圆半径/最短边；
    - 值越大越畸形。
  常见畸形：
  - Needle：一条边极短；
  - Cap：一角极小，像帽子；
  - 两者都会引起插值不稳定、渲染噪声。
  (4) 低畸变 Low Distortion
  - 网格应尽可能忠实地表示原始几何；
  - 拉伸或压缩会导致纹理失真、动画失效；
  - 关键指标：面积/角度保持性、Jacobian determinant。
  按ppt是这四个：
  - 光滑性
    - 低的几何噪声
  - 网格的动态划分
    - 低复杂性
  - 三角形形状
    - 数值健壮性
  - 特征保持
    - 低的法向噪声
- 网格质量优化（Mesh Optimization）
  
  核心目标：
  - 提升光滑性；
  - 保持几何特征；
  - 消除畸形元素。
  方法：
  - 重采样（Remeshing）：重新生成网格，使其规则。
  - 光滑算法（Fairing）：
    - Laplacian smoothing；
    - Taubin smoothing；
    - Mean curvature flow；
  - 能量最小化：如最小二乘曲率能量。

网格噪声与网格光滑

什么是网格噪声？
- 定义：真实世界中通过3D扫描（如激光、结构光）得到的三角网格模型中常包含高频、不规则的小扰动，这些即为“网格噪声”。
- 常见来源：
  - ✳️ 激光扫描仪 / 投影扫描仪的测量误差；
  - ✳️ 环境光照/反射干扰；
  - ✳️ 逆向工程中点云拟合误差。
网格噪声的特征
- 局部小突起或凹陷；
- 曲率变化剧烈；
- 不能被肉眼立即识别但影响后续计算（如纹理贴图、物理仿真）。
网格质量评估指标
- 曲率相关指标
  - 平均曲率 H：
    $\frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2}$
  - 高斯曲率 K：
    $\kappa_1 \cdot \kappa_2$
  - 高曲率处往往是噪声或尖锐几何特征。
- 能量函数
  - Strain Energy（应变能）：
    $\int_S (\kappa_1^2 + \kappa_2^2) \, dA$
  - 表示曲面弯曲“剧烈程度”，越剧烈则能量越高。
- 视觉分析
  - Specular Shading：高光断裂表明法向不连续；
  - Reflection Lines：反射线不平滑表明曲率突变；
  - Curvature Map：颜色映射曲率变化，红色表示“危险区”。
网格去噪的目标与挑战
- 目标：
  1. 消除高频扰动（低通滤波）；
  2. 保持全局几何特征（如边缘、尖锐转角）。
- 挑战：
  - 如果光滑过度 ➜ 会模糊特征；
  - 如果保留所有特征 ➜ 噪声仍在。

网格光滑（Mesh Smoothing）方法

核心思想

通过移动网格顶点（不改拓扑）来减少噪声、改善三角形质量、增强视觉平滑性。
基本流程（形状演化）

$\mathbf{P}_{\text{new}} = \mathbf{P}_{\text{old}} + \lambda \mathcal{H}(\mathbf{P}_{\text{old}})$
- $\mathbf{P}_{\text{new}}$ ：更新后顶点位置；
- $\lambda$ ：步长（控制光滑程度）；
- $\mathcal{H}$ ：光滑算子（如 Laplace 算子）；

显式 vs 隐式光滑方法

方法	形式	优点	缺点
显式（Explicit）	$\mathbf{M}_{n+1} = \mathbf{M}_n + \lambda \mathbf{L}(\mathbf{M}_n)$	简单、直观	需小步长，容易不稳定
隐式（Implicit）	$(\mathbf{I} - \lambda \mathbf{L})\mathbf{M}_{n+1} = \mathbf{M}_n$	稳定，可用大步长	需要求解线性系统，复杂

拉普拉斯光滑（Laplacian Smoothing）
- 核心思想
  
  拉普拉斯光滑等价于一种“扩散过程” —— 就像热量在金属中扩散一样，网格顶点也向“邻域平均”方向流动。
  
  数学模型（连续形式）：
  $\frac{d\mathbf{P}}{dt} = \mathbf{L}(\mathbf{P})$
  其中 $\mathbf{P}$ 是顶点位置， $\mathbf{L}$ 是拉普拉斯算子，代表“顶点 - 邻居中心”的方向。
- 拉普拉斯算子的定义（邻域平均）
  
  最基本的均匀拉普拉斯算子定义为：
  $\mathbf{L}(v_i) = \sum_{j \in N(i)} \frac{1}{|N(i)|}(v_j - v_i)$
  - $N (i)$ ：顶点 $v_i$ 的邻居集合；
  - 表示顶点朝“邻域平均位置”移动。
  也可以表示为：
  $v_i^{\text{new}} = v_i + \lambda \sum_{j \in N(i)} w_{ij} (v_j - v_i)$
  其中 $w_{ij}$ 是邻居 $j$ 对 $i$ 的影响权重。

在这里插入图片描述

加权拉普拉斯（Weighted Laplacian）

为更好反映网格几何特征，引入不同的加权策略：

1. Umbrella Weights（雨伞权重）

$w_{ij} = \frac{1}{|N(i)|}$
- 所有邻点贡献相等；
- 简单但容易模糊尖锐特征。
2. Mean Value Weights（均值权重）

$w_{ij} = \tan(\phi_{ij}/2) + \tan(\phi_{ij+1}/2)$
- $\phi$ 是邻域角；
- 对于非均匀三角网格，效果优于 Umbrella。
3. Cotangent Weights（余切权重）

$w_{ij} = \cot(\alpha_{ij}) + \cot(\beta_{ij})$
- $\alpha_{ij}, \beta_{ij}$ ：边对角的两个角；
- 准确地考虑了网格局部几何；
- 广泛用于曲率估计和几何优化。
保留细节：限制沿法线方向平滑

为防止顶点在切向方向滑动导致细节丢失，可以只让顶点在法线方向上移动：
$\mathbf{P}_{\text{new}} = \mathbf{P}_{\text{old}} + \lambda \cdot (\mathbf{L}(\mathbf{P}_{\text{old}}) \cdot \mathbf{n}) \cdot \mathbf{n}$
- $\mathbf{n}$ ：顶点法向量；
- 只在法线方向投影位移；
- 可以保留曲线棱边或结构特征。
拉普拉斯光滑等价于最小化以下二次能量函数：

$E(\mathbf{P}) = \sum_{(i,j)\in \text{edges}} \| v_i - v_j \|^2$
- 这个能量表示“网格的不平滑程度”；
- 最小化该能量可使边尽可能均匀，曲面趋于光滑。

拉普拉斯光滑中的特征保留技术详解

为什么需要特征保留的拉普拉斯光滑？

问题：
标准的拉普拉斯光滑通过顶点向邻居平均位置靠拢来减少噪声，但也容易模糊模型的重要几何特征（如折线边、尖角、细节部位）。

目标：
在实现整体平滑的同时，保留曲面重要形状结构。

形状保留方法概览

方法类型	原理	实现方式
固定点 / 区域	直接不动某些点	设置拉普拉斯为 0，即 $L(v_i) = 0$
软约束	局部减少光滑强度	对不同区域设定不同 $\lambda$ ，如边缘附近小、内区大
全局优化	整体建模优化问题	一次性求解全局最小二乘问题
面约束	限制局部面片的重心变化	防止局部形状偏移
特征检测	预识别需保留的结构	边缘检测、法向量变化检测等

全局拉普拉斯光滑框架（Global Smoothing）

优势
- 一次性求解整个网格的顶点位置；
- 更适合配合多种约束；
- 具有数值稳定性和整体性。

添加约束实现特征保留

顶点约束（Vertex Constraints）

目的：保持某些关键点（如边缘、尖角）位置不变。

形式：
- 软约束：
  $\| L X' \|^2 + \mu^{-2} \sum_{i \in C} \| v_i' - v_i \|^2$
- 强约束（硬约束）：
  $v_i' = v_i \quad \text{直接固定}$
结果：保留特征点，其他区域仍可平滑。
面约束（Face Constraints）

目的：限制面片的整体形状变化（如三角形的重心不偏移）。

能量函数：
$\min_X \left\{ \| L X' \|^2 + \sum_{\langle i,j,k \rangle \in T} \lambda^2 \left\| (v_i'+v_j'+v_k') - (v_i+v_j+v_k) \right\|^2 \right\}$
- $T$ ：所有三角面片索引集合；
- 控制重心不变，保留局部形状；
- 参数 $\lambda$ 控制保留强度。

其他线性约束

约束类型	用途
边约束	保留边的长度或方向，避免折线模糊
一阶邻域重心约束	控制小区域不整体漂移
法向量约束	保持曲面的朝向不变（例如用于光滑法向）

总目标函数为：

$\min_X \left\{ \| L X' \|^2 + \sum_{i \in C} \mu \| v_i' - v_i \|^2 + \sum_{\langle i,j,k \rangle \in T} \lambda^2 \| (v_i'+v_j'+v_k') - (v_i+v_j+v_k) \|^2 \right\}$
- 第一项：拉普拉斯平滑能量；
- 第二项：顶点位置保留；
- 第三项：面片重心保留；
- 参数 $\mu, \lambda$ ：控制权重，平衡保留与光滑程度。
线性系统求解方法

设系统矩阵为 $A$ ，未知顶点为 $x$ ，构成超定系统：
$A x = b$
使用最小二乘法解得：
$x = (A^T A)^{-1} A^T b$
优点：
- 数值稳定；
- 可加入任意线性约束；
- 利用稀疏矩阵求解器效率更高。
特征检测用于约束预处理

为自动设置约束位置，可使用启发式特征检测方法，例如：

✅ 法向量变化检测
- 若相邻面片法向量夹角大于阈值 → 识别为折线；
- 这些点加入顶点约束集合 $C$ 。
✅ 曲率检测（可选）
- 利用高斯曲率 / 平均曲率高值区识别尖角；
- 保留这些高曲率点或边界。

输入网格 → 特征检测 → 添加约束（点、面） 
          ↓
     构造拉普拉斯矩阵 + 约束矩阵
          ↓
      求解最小二乘系统
          ↓
        输出平滑网格（保留特征）

视图
- 定义视图：从不同角度或方式观察物体生成的图像。
- 视图生成的关键因素：
  - 物体本身的几何形状和尺寸。
  - 观察者的视点位置和观察方向。
图形渲染管线（Graphics Pipeline）：
- 几何管线：
  - 变换（Transform）：包括模型变换、视图变换、投影变换。
  - 裁剪（Clip）：移除视体外的几何体。
  - 投影（Project）：将3D场景映射到2D平面。
- 像素管线：处理像素操作（如纹理映射、颜色混合）。
- 框架：OpenGL程序控制管线，渲染结果存储在帧缓冲区（Frame Buffer）。
视图生成相关的变换类型：
- 3D变换：模型的平移、旋转、缩放等。
- 视图变换：将世界坐标系转换为相机坐标系。
- 相机变换：调整相机位置和方向（与视图变换类似）。
- **投影变换：**将3D场景映射到2D平面，分为：
  - 正交投影（Orthographic）：平行投影，保持尺寸不变。
  - 透视投影（Perspective）：模拟人眼，远处的物体显得更小。
经典视图的三个基本元素：
- 物体：需要渲染的3D几何体。
- 观察者与投影面：观察者的视点和投影平面（如屏幕）。
- 投影线：从物体到投影面的映射路径。
投影：将3D场景映射到2D平面。

两种主要投影类型：
- 正交投影：投影线平行，保持物体尺寸。
- 透视投影：投影线汇聚于一点，模拟远近大小变化。
平面几何投影的分类：
- 平行投影：
  - 多视图正交投影：如正面、顶面、侧面图。
  - 轴测投影：
    - 等轴测（Isometric）：三个轴角度相等。
    - 二轴测（Dimetric）：两个轴角度相等。
    - 三轴测（Trimetric）：三个轴角度不同。
  - 斜投影：投影线与投影平面非垂直。
- 透视投影：
  - 一点透视：一个消失点。
  - 两点透视：两个消失点。
  - 三点透视：三个消失点。
计算机视图生成的三个关键步骤：
- 相机定位：通过模型-视图矩阵（model-view matrix）设置相机位置和方向。
- 选择镜头：通过投影矩阵（projection matrix）定义投影类型（如透视或正交）。
- 裁剪：定义视体（view volume），移除体外的几何体。
OpenGL相机模型的默认设置：
- 相机与物体坐标系初始重合（单位模型-视图矩阵）。
- 相机位于原点，朝负z轴方向。
- 默认视体：边长为2的立方体，中心在原点。
- 默认投影矩阵：单位矩阵，相当于正交投影。

相机移动的实现：

通过旋转和平移序列调整相机到任意位置。

示例（侧视图）：

glTranslatef(0.0, 0.0, -d);
glRotatef(-90.0, 0.0, 1.0, 0.0);

旋转相机（绕y轴旋转-90°）。
平移相机（沿负z轴移动d）。

参数	解释
`-90.0`	旋转角度，单位是度（degree）。负号表示顺时针旋转（沿指定轴的右手法则反方向）
`0.0, 1.0, 0.0`	旋转轴向量，即绕哪个轴旋转。这里是绕 y 轴旋转，因为只有 y 分量是 1

模型-视图矩阵：C = T * R（先旋转后平移）。

**变换顺序：最后定义的变换（旋转）先应用，然后是平移。**即，后定义先使用

完整：

glMatrixMode (GL_MODELVIEW)
glLoadIdentity();
glTranslatef(0.0, 0.0, -d);
glRotatef(-90.0, 0.0, 1.0, 0.0);

视口内容的四个相机参数：
- 相机位置：视点坐标。
- 观察方向：相机指向的方向。
- 相机朝向：相机的上下方向（避免翻转）。
- 视口大小：投影平面的尺寸。
gluLookAt(eyex, eyey, eyez, atx, aty, atz, upx, upy, upz)
- 眼位置：相机所在点。
- 观察点：相机指向的点，定义观察方向。view direction=（atx-eyex, aty-eyey, atz-eyez）
- 上向量：定义相机的朝上方向，避免翻转。
gluLookAt生成模型-视图矩阵，将世界坐标系变换到相机坐标系。

山东大学计算机图形学期末复习整理5——CG10上

CG10上

Frenet-Serret框架

空间中一条曲线可以写成参数形式：

切线向量 T（Tangent Vector）

二阶导数 Cuu 与曲率信息

如何从 Cuu 得到“法线向量 N”

副法线的定义：

三个向量构成 Frenet-Serret 框架

切向量：

法向量（Normal Vector）

曲面微分属性

主曲率与主方向（Principal Curvatures & Directions）

各向同性与各向异性（Isotropic vs Anisotropic）

各向同性：

各向异性：

主曲率的计算：

高斯曲率（Gaussian Curvature）：

平均曲率（Mean Curvature）：

网格质量（Mesh Quality）

定义：

网格质量的几何度量

(1) 弯曲能量（Strain Energy）

(2) 曲率变化量（Variation of Curvature）

网格质量的视觉评估方法

(1) 镜面高光（Specular Shading）

(2) 反射线（Reflection Lines）

(3) 平均曲率与高斯曲率可视化

网格质量原则（Principles）

(1) 光滑性 Smoothness

(2) 低噪声 Low Geometric Noise

(3) 网格规则性（Regularity）

形状分析：

常见畸形：

(4) 低畸变 Low Distortion

网格质量优化（Mesh Optimization）

核心目标：

方法：

网格噪声与网格光滑

什么是网格噪声？

网格噪声的特征

网格质量评估指标

曲率相关指标

能量函数

视觉分析

网格去噪的目标与挑战

目标：

挑战：

网格光滑（Mesh Smoothing）方法

核心思想

基本流程（形状演化）

显式 vs 隐式 光滑方法

拉普拉斯光滑（Laplacian Smoothing）

核心思想

拉普拉斯算子的定义（邻域平均）

加权拉普拉斯（Weighted Laplacian）

1. Umbrella Weights（雨伞权重）

2. Mean Value Weights（均值权重）

3. Cotangent Weights（余切权重）

保留细节：限制沿法线方向平滑

拉普拉斯光滑等价于最小化以下二次能量函数：

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为什么需要特征保留的拉普拉斯光滑？

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优势

添加约束实现特征保留

顶点约束（Vertex Constraints）

面约束（Face Constraints）

其他线性约束

总目标函数为：

线性系统求解方法

特征检测用于约束预处理

✅ 法向量变化检测

✅ 曲率检测（可选）

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