抽象代数小述（对对立关系的整体性把握）
by Amamiya Fuko
青丝混着银丝纺，瞳前方寸若隔纱
引言
安瞄，是风风子。
对对立关系的整体性把握是二，比如说集合{1,0}就是二元的，所以正确的标题应该是抽象代数小述（二）
既然是抽象代数，那自然就要抽象一点o( mTwTm)b
参考的书籍是张禾瑞老师的《近世代数基础》
目录
1.等价关系与类
- 同余关系
2.群
- 原群与封闭性
- 半群与结合律
- 群与逆元
等价关系与类
等价关系是对一集合内的元来说的，如 a ∈ A , b ∈ A a\in A,b\in A a∈A,b∈A，若a 等价于b 则我们用符号表示为a~b
若有a 等价于b ，则有a 与b 相同的象
f ( a ) = f ( b ) f(a) = f(b) f(a)=f(b)
类是相对于某一集合的子集，若有满射 A → B = f ( A ) A\to B = f(A) A→B=f(A) 设x 为A元，y 为B元，则y 的逆象构成一个类，类中的元相互等价，A被视为是由类构成的集合。
同余关系
同余关系是种特殊的等价关系
设有运算x mod n，n为常数，该运算也可以表示为x % n ，在初等数学中通常使用下式表示，其中ans 表示该运算的结果
x ÷ n = y ⋯ a n s x \div n = y \cdots ans x÷n=y⋯ans
设 x , y ∈ Z , x ≠ y x,y\in Z,x\neq y x,y∈Z,x=y 若有x mod n = y mod n，则显然有x~y，我们称这种等价关系为同余 x ≡ y x\equiv y x≡y
群
群是一个满足封闭性与结合律，有中性元与逆元的代数系统
群由一个集合与一个二元运算组成。原群、半群、么半群、阿贝尔群，不等于群。
其中，二元运算是这样一个运算
A × A → A = f ( A , A ) A \times A \to A = f(A,A) A×A→A=f(A,A)
原群与封闭性
原群是一个由一个集合与一个二元运算组成的、只满足封闭性的代数系统。
封闭性可以以这样的形式表述，设 x , y , z ∈ A x,y,z\in A x,y,z∈A ，在A上有一运算f，则有以下条件满足
∀ f ( x , y ) = z \forall f(x,y) = z ∀f(x,y)=z
不过运算本身就是满足封闭性的映射就是了（参考二之前）
半群与结合律
半群是一个扩展了的原群，它是由一集合与一满足结合律的二元运算所组成的代数系统
设有设 x , y , z ∈ A x,y,z\in A x,y,z∈A ，在A上有一运算f，若该运算满足以下情形，则我们说它是满足结合律的
∀ f ( f ( x , y ) , z ) = f ( x , f ( y , z ) ) \forall f(f(x,y),z) = f(x,f(y,z)) ∀f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
么半群是一个扩展了的半群，它是一个有着单位元的半群
群与逆元
群的定义在上面有。
逆元的定义依赖于对单位元的定义。
单位元是群中一个特殊的元，我们使用e表示
设x 为A中的任意一元，则有下式成立
f ( e , x ) = x f(e,x) = x f(e,x)=x
对于任意一群来说，单位元e 是唯一的，我们可以使用反证法证明
假设有两个单位元分别为： e ， e ′ 其中， e 为左单位元，始终有： f ( e , a ) = a 而 e ′ 为右单位元，始终有： f ( a , e ′ ) = a 则有： f ( e , e ′ ) = e ′ 与： f ( e , e ′ ) = e 这违反同一律，因此： 单位元是唯一的 \begin{array}{ll} 假设有两个单位元分别为： & e，e'\\ 其中，e为左单位元，始终有： & f(e,a) = a\\ 而e'为右单位元，始终有： & f(a,e') = a\\ 则有： & f(e,e') = e'\\ 与： & f(e,e') = e\\ 这违反同一律，因此： & 单位元是唯一的 \end{array} 假设有两个单位元分别为：其中，e为左单位元，始终有：而e′为右单位元，始终有：则有：与：这违反同一律，因此：e，e′f(e,a)=af(a,e′)=af(e,e′)=e′f(e,e′)=e单位元是唯一的
逆元是相对于某元来说特殊的元，若这元为 a a a 则其逆元用 a − 1 a^{-1} a−1 表示
对于某元而言，始终有其与逆元的运算为单位元，如下
f ( a , a − 1 ) = e f(a,a^{-1}) = e f(a,a−1)=e