高等数学基础(矩阵基本操作转置和逆矩阵)

矩阵是否相等

若$A$和$B$为同型矩阵且对应位置的各个元素相同, 则称矩阵$A$和$B$相等
在Numpy中, 可以根据np.allclose()来判断

import numpy as np

A = np.random.rand(4, 4)  # 生成一个随机 n x n 矩阵

B = A + A.T

print("矩阵是否相等：", np.allclose(A, A))
print("矩阵是否相等(对称矩阵)：", np.allclose(B, B.T))

"""output:
矩阵是否相等： True
矩阵是否相等(对称矩阵)： True
"""

矩阵加减法运算(同型矩阵)

只有同型矩阵才可以做加减法运算, 比如$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$
$$A\pm B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}\pm b_{11}& a_{12}\pm b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}\pm b_{21}& a_{22}\pm b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}\pm b_{m1}& a_{m2}\pm b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]$$

import numpy as np

A = np.random.rand(4, 4)  # 生成一个随机 n x n 矩阵
B = np.random.rand(4, 4)  # 生成一个随机 n x n 矩阵


print("矩阵相加 A + B：\n", A + B)

"""output:
矩阵相加 A + B：
 [[1.85565417 1.19897263 1.43074501 1.08090302]
 [0.73575223 0.55719962 1.07948313 0.88540198]
 [0.54137775 0.93516805 1.34874669 1.27058512]
 [0.71528085 0.42096502 0.78680364 0.49563923]]
"""

矩阵的数乘运算

设数$\lambda$和矩阵$A$的乘积记做$\lambda A$或$A\lambda$
$$\lambda A={\left[\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right]}_{m\times n}$$

import numpy as np

A = np.random.rand(4, 4)  # 生成一个随机 n x n 矩阵


print("数乘矩阵 n * A：\n", 10 * A)

"""output:
数乘矩阵 n * A：
 [[5.19664362 8.63302512 2.74169614 7.91261818]
 [7.48393355 0.1544285  7.78617328 8.00967944]
 [4.0945106  7.79687066 7.19467784 3.76012125]
 [3.86753992 0.36831857 0.53450663 0.34417902]]
"""

矩阵的乘法(A矩阵列数=B矩阵行数)

只有第一个矩阵的列和第二个矩阵的行相等($p$)时才可以进行乘法运算, 设矩阵$A_{m\times p}$和$B_{p\times n}$, 称$m\times n$阶的矩阵$C$为矩阵$A$和$B$的乘积, 记做$C_{m\times n}=A_{m\times p}\times B_{p\times n}$, $C=AB$, 计算公式如下
$$C_{ij}=\sum _{k=1}^p{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{ip}{b}_{pj}$$
结果矩阵$C$的第$i$行与第$j$列交叉位置的值, 等于矩阵$A$第$i$行与矩阵$B$第$j$列对应位置每个值的乘积之和
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\times 1+2\times 3+3\times 5& 1\times 2+2\times 4+3\times 6\\ 4\times 1+5\times 3+6\times 5& 4\times 2+5\times 4+6\times 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}22& 28\\ 49& 64\end{array}\right]$$

性质

1. $AB\ne BA$
2. $(AB)C=A(BC)$
3. $A(B+C)=AB+AC$
4. $(B+C)A=BA+CA$
5. $\lambda AB=(\lambda A)B=A(\lambda B)$

import numpy as np

A = np.random.random((3, 4))  # 生成一个随机 n x n 矩阵
B = np.random.random((4, 3))  # 生成一个随机 n x n 矩阵
C = np.random.random((4, 3))  # 生成一个随机 n x n 矩阵


print("矩阵乘法 np.dot(A, B)：\n", np.dot(A, B))
print("矩阵乘法 同型矩阵 np.multiply(B, C)：\n", np.multiply(B, C))
print("矩阵乘法 同型矩阵 B * C：\n", B * C)



"""output:
矩阵乘法 np.dot(A, B)：
 [[1.21934115 0.95509204 1.07146563]
 [0.84805456 0.80305107 1.29072162]
 [0.7986989  0.6570242  0.98401843]]
矩阵乘法 同型矩阵 np.multiply(B, C)：
 [[0.2603926  0.783609   0.22885359]
 [0.21990775 0.08573665 0.66108795]
 [0.04055929 0.02528424 0.16612946]
 [0.20936775 0.10603932 0.52598509]]
矩阵乘法 同型矩阵 B * C：
 [[0.2603926  0.783609   0.22885359]
 [0.21990775 0.08573665 0.66108795]
 [0.04055929 0.02528424 0.16612946]
 [0.20936775 0.10603932 0.52598509]]

"""

矩阵和向量的乘法(转换向量)

矩阵和向量的乘法是机器学习中重要的操作, 其主要思想是将向量转换为可操作的矩阵然后进行乘法操作

1. 设矩阵$A_{m\times n}$的$n$维列向量$X$相乘, 可以按照矩阵和矩阵的乘法进行计算, 结果为$m$维列向量, $m\times 1$阶矩阵

import numpy as np

A = np.random.random((3, 4))  # 生成一个随机 n x n 矩阵
B = np.array([[1], [2], [3], [4]])  # 向量转换为 m * 1 矩阵, 然后进行运算


print("矩阵乘法 np.dot(A, B)：\n", np.dot(A, B))



"""output:
矩阵乘法 np.dot(A, B)：
 [[5.503236  ]
 [4.09746931]
 [1.46448954]]

"""

2. 设$m$维行向量$X$和矩阵$A_{m\times n}$相乘, 结果为$n$维的向量, 即$1\times n$矩阵

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3]])  # 向量转换为 1 * m 矩阵, 然后进行运算
B = np.random.random((3, 4))  # 生成一个随机 n x n 矩阵


print("矩阵乘法 np.dot(A, B)：\n", np.dot(A, B))

"""output:
矩阵乘法 np.dot(A, B)：
 [[1.93115602 1.38665763 1.99863191 3.45882516]]
"""

矩阵的乘方(方阵)

只有方阵才能进行乘方运算, $A^1=A$, $A^2=AA$, $A^{k+1}=A^{k}A=A{A}^k$, array类型和matrix类型运算方式不同
array类型运算(dot)和matrix的运算(**): 矩阵运算
$$A^k={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{n1}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]}^k$$

array的(**)运算: 矩阵每一项的运算
$$A^k=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}^k& \cdots & a_{n1}^k\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m1}^k& \cdots & a_{mn}^k\end{array}\right]$$

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])  # array 乘方必须为方阵, 因为方阵结果还是方阵

print("array矩阵乘方 np.dot(A, A).dot(A)：\n", np.dot(A, A).dot(A))
print("array矩阵每个元素n次方：\n", A ** 3)

B = np.mat(
    np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
)
print("matrix矩阵乘方 B ** 3：\n", B ** 3)

"""output:
array矩阵乘方 np.dot(A, A).dot(A)：
 [[ 468  576  684]
 [1062 1305 1548]
 [1656 2034 2412]]
array矩阵每个元素n次方：
 [[  1   8  27]
 [ 64 125 216]
 [343 512 729]]
matrix矩阵乘方 B ** 3：
 [[ 468  576  684]
 [1062 1305 1548]
 [1656 2034 2412]]
"""

转置矩阵和逆矩阵

转置矩阵

矩阵$A$的行和列互相交换所产生的矩阵称为$A$的转置矩阵, 记做$A^T$, 这个运算称为矩阵的转置运算
比如:
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 6& 10\\ 1& -2& 9\end{array}\right],A^T=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 6& -2\\ 10& 9\end{array}\right]$$

import numpy as np


A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print("矩阵的转置A.T: \n", A.T)
print("矩阵的转置A.transpose(): \n", A.transpose())

"""output:
矩阵的转置A.T: 
 [[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]
矩阵的转置A.transpose(): 
 [[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]
"""

转置矩阵和对称矩阵

1. 通过矩阵转置和判断是否为对称矩阵
2. 通过矩阵转置和保留上三角矩阵相加可以获得对称矩阵

逆矩阵(方阵)

逆矩阵蕾丝数学中的倒数, 如果$b\times a=a\times b=1$, 则$a,b$互为倒数, $a÷b=a\times \frac{1}{b}=a\times b^{-1}$, 因为矩阵没有除法可以借助逆矩阵, 实现除法

逆矩阵定义
对于$n$阶方阵, 若存在$n$阶方阵$B$, $AB=BA=E$, $E$为单位矩阵, 记做$B=A^{-1},A=B^{-1}$, 若$A$可逆, 则其逆矩阵唯一

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],并且\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
所以两个矩阵互为逆矩阵, 并非所有的方阵都有逆矩阵, 没有你矩阵的方阵称为奇艺矩阵或不可逆矩阵

性质

1. $(A^{-1})=A$
2. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
3. $(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1},\lambda \ne 0$
4. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print("方阵array的逆矩阵np.linalg.inv(A): \n", np.linalg.inv(A))
print("方阵matrix的逆矩阵np.mat(A).I: \n", np.mat(A).I)

"""output:
方阵array的逆矩阵np.linalg.inv(A): 
 [[ 3.15251974e+15 -6.30503948e+15  3.15251974e+15]
 [-6.30503948e+15  1.26100790e+16 -6.30503948e+15]
 [ 3.15251974e+15 -6.30503948e+15  3.15251974e+15]]
方阵matrix的逆矩阵np.mat(A).I: 
 [[ 3.15251974e+15 -6.30503948e+15  3.15251974e+15]
 [-6.30503948e+15  1.26100790e+16 -6.30503948e+15]
 [ 3.15251974e+15 -6.30503948e+15  3.15251974e+15]]
"""