昨天我们学习了分类变量的检验方法，今天我们来看看连续性变量的相关性检验方法。
Pearson
一般来说，person适用于两个变量之间满足线性的单调关系，像我们常说的单调递增或单调递减，且我们的变量是连续且正态分布的。简单来说，就是变量拥有无限的可能性，比如身高可能是160.1,160.9，185.32等等，且大部分的值都在平均值附近（比如一个城市成年男性的平均身高）。听起来似乎很简单，但有时候可以有助于帮我们判断数据里是否有异常值，因为pearson对非线性的关系和异常值很敏感（毕竟所画的图不再是直线），从而可以在数据分析前进行数据清洗。
以下是一个应用例子：
# 生成线性相关数据
set.seed(42)
height <- rnorm(100, mean = 170, sd = 10)
weight <- 0.6 * height + rnorm(100, mean = 0, sd = 5)
# 计算Pearson相关
pearson_test <- cor.test(height, weight, method = "pearson")
print(pearson_test)
# 可视化
library(ggplot2)
ggplot(data.frame(height, weight), aes(x = height, y = weight)) +
geom_point() +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) +
ggtitle(paste("Pearson相关 r =", round(pearson_test$estimate, 2))) +
theme_minimal()输出：
Pearson's product-moment correlation
data: height and weight
t = 13.998, df = 98, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.7384722 0.8728963
sample estimates:
cor
0.8164629
`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
从结果可以分析得出，（r）为0.816很靠近1，说明身高与体重是强正相关；而p小于0.001且95%置信区间落在[0.738, 0.873]，进一步地为强相关性的结论增强了说服力。
Spearman
与pearson不同的是，这个方法对数据没有那么多要求，且由于其会在分析前将数据转换为秩次（也就是转换为数据的大小排序），这样的好处是可以排除掉异常值的影响，因为不管异常值是极大还是极小，从大小排序来看，其都是第一或最后一个，不会以离散的身份出现在数据里。这样的数据特点，适合让我们分析他们的单调关系，同时不需要硬性规定其是线性变化的。适合应用于分析比如焦虑程度与睡眠质量、药物剂量与疗效高低、收入等级与幸福感指数等可以用排名量化的问题，要注意这里由于加入了秩次的处理方法，是没有数据的实际信息的。
以下是一个应用例子：
# 生成单调但非线性数据
set.seed(42)
income <- runif(100, 1000, 10000)
happiness <- log(income) + rnorm(100, mean = 0, sd = 0.3)
# 计算Spearman相关
spearman_test <- cor.test(income, happiness, method = "spearman")
print(spearman_test)
# 可视化
ggplot(data.frame(income, happiness), aes(x = income, y = happiness)) +
geom_point() +
geom_smooth(method = "loess", se = FALSE) +
ggtitle(paste("Spearman相关 ρ =", round(spearman_test$estimate, 2))) +
theme_minimal()输出：
Spearman's rank correlation rho
data: income and happiness
S = 18262, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho
0.890417
`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
从结果可以看到，Spearman's rho (ρ)为0.89，说明两者是强相关性，处于一个很明显的单调递增，而p-value远小于0.05，说明相关性显著，两个变量不相关的假设不成立。
Kendall's Tau
与前两者不同的是，这个方法会有做对照实验的思想在。之所以会这样作是因为在这类方法的应用场景中，两类数据会有很多相同点，比如评估两位评委对参赛作品排名的一致性、比较新旧两种诊断方法对疾病严重程度的分类一致性、比较不同年份物种丰富度的排序变化等等，重在反映数据对的一致性比例。需要注意的是，由于这个方法是要对数据点进行一一对应比较，如果样本集数据量过大，计算的效率会很低。
以下是一个应用例子：
# 生成有序数据（可能有并列值）
set.seed(42)
judge1 <- sample(1:5, 50, replace = TRUE)
judge2 <- judge1 + sample(-1:1, 50, replace = TRUE)
judge2 <- pmin(pmax(judge2, 1), 5) # 限制在1-5范围内
# 计算Kendall's Tau
kendall_test <- cor.test(judge1, judge2, method = "kendall")
print(kendall_test)
# 可视化
library(ggbeeswarm)
ggplot(data.frame(judge1, judge2), aes(x = factor(judge1), y = judge2)) +
geom_quasirandom(width = 0.2, alpha = 0.7) +
stat_summary(fun = median, geom = "crossbar", width = 0.5, color = "red") +
ggtitle(paste("Kendall's τ =", round(kendall_test$estimate, 2))) +
labs(x = "评委1评分", y = "评委2评分") +
theme_minimal()输出：
Kendall's rank correlation tau
data: judge1 and judge2
z = 6.8568, p-value = 7.044e-12
alternative hypothesis: true tau is not equal to 0
sample estimates:
tau
0.7938499
(τ)为0.794大于0.7，说明两位评委的打分高度一致；而z = 6.8568, p-value = 7.044e-12则说明结论的高度显著，说明评委打分之间是有关系的。