【11408学习记录】考研数学攻坚：行列式本质、性质与计算全突破-EW帮帮网

行列式

数学
- 线性代数

2025.06.08

数学

线性代数

线性代数式一种代数结构，通俗来讲，向量空间就是这个结构的基石，我们要在向量空间中研究向量与向量之间的关系。

一、对象（元素）：向量

定义：拼在一起的有序数组。

有序：指的是元素的位置是有序的，如 $a_1a_2a_3)$ 这里的元素下标就是有序的；若写成 $a_2a_1a_3)$ 此时的元素下标就是无序的。

维数：向量中数的个数。

如： $a_1)$ 这表示的是一个一维向量， $a_1a_2)$ 这表示的是一个二维向量。即向量中有几个数就是几维向量
根据数的摆放，又可将其分为：

行向量：向量中的数横向摆放。如： $(a, b, c)$

列向量：向量中的数纵向摆放。如： $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} % 列向量$

意义：数据可以表达信息。

向量中的数据可以用来表示各种信息，比如我们就可以用不同的数字表示我们对某一学科的兴趣高低：

1：表示喜欢该学科

0：表示不喜欢也不厌恶

-1：表示厌恶该学科

那么在向量[语文, 数学, 英语]这个三维向量中，我们就可以根据自己的喜好程度表示为 [0, 1, -1]：

$a_1 = 0$ ：不喜欢也不厌恶语文

$a_2 = 1$ ：喜欢数学

$a_3 = -1$ ：厌恶英语

二、运算

向量的运算可分为三类：

线性运算：主要有两种运算方式——加法（a + b）与数乘（ka, k为常数）
点积运算：主要有4种运算方式
- 一行乘一列： $b)\begin{pmatrix} c \\ d\end{pmatrix} = ac + bd$
- 一行乘多列： $b)\begin{pmatrix} c_1 c_2 \\ d_1 d_2\end{pmatrix} = (ac_1 +bd_1, ac_2 + bd_2)$
- 多行乘一列: $\begin{pmatrix}a_1 a_2\\b_1 b_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1c + a_2d \\ b_1c + b_2d\end{pmatrix}$
- 多行乘多列 $\begin{pmatrix}a_1 a_2\\b_1 b_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1 c_2 \\ d_1 d_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}a_{12}\\a_{21}a_{22}\end{pmatrix}$
  - $a_{11} = a_1c_1 + a_2d_1$
  - $a_{12} = a_1c_2 + a_2d_2$
  - $a_{21} = b_1c_1 + b_2d_1$
  - $a_{22} = b_1c_2 + b_2d_2$
线性变换
- 对称变换
  - x轴对称： $\begin{pmatrix}1\space\space\space\space\space0 \\ 0\space -1\end{pmatrix}$
  - y轴对称： $\begin{pmatrix}-1\space\space0 \\ \space\space\space0\space\space1\end{pmatrix}$
  - 原点对称： $\begin{pmatrix}-1\space\space\space\space\space\space0 \\ \space\space\space0\space -1\end{pmatrix}$
  - $y = x$ 对称： $\begin{pmatrix}0\space\space\space1 \\ 1\space\space\space 0\end{pmatrix}$
  - $y = - x$ 对称： $\begin{pmatrix}\space\space\space0\space\space-1 \\ -1\space\space\space\space\space\space\space0\end{pmatrix}$
- 伸缩变换
  - 横向拉伸： $\begin{pmatrix}2\space\space0\\0\space\space1\end{pmatrix}$
  - 纵向拉伸： $\begin{pmatrix}1\space\space0\\0\space\space2\end{pmatrix}$
  - 横向压缩： $\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\space\space0\\0\space\space1\end{pmatrix}$
  - 纵向压缩： $\begin{pmatrix}1\space\space0\\0\space\space\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
- 剪切变换
  - 横向剪切： $\begin{pmatrix}1\space\space-1\\0\space\space\space\space\space\space\space1\end{pmatrix}$
  - 纵向剪切： $\begin{pmatrix}\space\space\space1\space\space\space\space\space0\\-1\space\space\space\space\space1\end{pmatrix}$
- 旋转变换
  - 旋转45°： $\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}\space\space-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ \frac{\sqrt{2}}{2}\space\space\space\space\space\space\space\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$

三、行列式

3.1 第一种定义——行列式的本质定义

行列式的本质属性是测度——测量n维图形的体积

PS:（面积是一种特殊的体积）

2阶行列式由两个2维向量组成，其结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积
3阶行列式是由三个3维向量组成，其结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积
n(n>=3)阶行列式是由n个n维向量组成，其结果为以这n个向量为邻边的n维图形的体积

在行列式中，行和列是等价的，即：行向量 $(1, 2)$ 与列向量 $\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$ 等价

行列式的几何意义：

n维图形的体积可以转化为n个相邻向量所组成的行列式的值

向量间的线性关系

当n个向量组成的行列式的值为0时，则说明这些向量线性相关
当n个向量组成的行列式的值非0时，则说明这些向量线性无关

行列式的计算
在n阶行列式中，我们可以将其视为两部分：

从左上到右下的主对角线部分
从右上到左下的副对角线部分

在计算行列式时，同一条线的值的乘积为该线的值：

主对角线上所有线的值之和为主对角线的值
副对角线上所有线的值之和为副对角线的值

$行列式的值 = 主对角线的值 - 副对角线的值$

下面我们以2阶行列式与三阶行列式为例来说明这个结论：

二阶行列式

$\begin{bmatrix}a_{11}\space\space a_{12} \\ a_{21}\space\space a_{22}\end{bmatrix}$ 其主/副对角线分别为：

主对角线： $a_{11}a_{22}$
副对角线： $a_{12}a_{21}$

行列式的值 = 主对角线的值 - 副对角线的值，即：
$A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$
三阶行列式
$\begin{bmatrix}a_{11}\space\space a_{12}\space\space a_{13} \\ a_{21}\space\space a_{22} \space\space a_{23} \\ a_{31}\space\space a_{32} \space\space a_{33}\end{bmatrix}$ 其主/副对角线分别为：

主对角线1： $a_{11}a_{22}a_{33}$
主对角线2： $a_{12}a_{23}a_{31}$
主对角线3： $a_{13}a_{32}a_{21}$
副对角线1： $a_{13}a_{22}a_{31}$
副对角线2： $a_{12}a_{21}a_{33}$
副对角线3： $a_{11}a_{32}a_{23}$

行列式的值 = 主对角线的值 - 副对角线的值，即：
$a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{32}a_{21}\\ \space \space\space\space\space\space\space\space- a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{32}a_{23}$

3.2 行列式的性质

在行列式中，我们需要了解行列式的7个性质

性质1：行列互换，其值不变

在行列式中，行和列是等价的，因此当我们将行和列的值进行互换后，行列式的值是不会发生改变的。如：

$\begin{bmatrix}1\space\space2\\3\space\space4\end{bmatrix}\xRightarrow{行列互换}|A^T| = \begin{bmatrix}1\space\space3\\2\space\space4\end{bmatrix}$

在上述两个行列式中通过计算我们不难发现，两个行列式的结果都是：-2，因此我们说行和列在进行互换后行列式的值不会发生变化。

转置矩阵：当我们将矩阵 $A$ 的行和列互换后得到的新的矩阵，我们称之为转置矩阵
对称矩阵：当矩阵 $A$ 与其转置矩阵 $A^T$ 相等时，即 $A = A^T$ ，那矩阵 $A$ 就是一个对称矩阵

性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

这个性质从几何的角度来理解就比较简单：

在前面的介绍中我们有提到过：n阶行列式的值就是由n个n维向量为邻边组成的n维图形的体积。
当其中某行或者某列的元素全为零时，表示该行或者该列的向量为0，我们可以理解为，这个为0的n维向量坍缩至一个点。
那也就是说在这种情况下，该空间是由（n - 1）个n维向量和零向量组成的一个n维空间；
以这（n - 1）个n维向量为邻边只能够组成一个（n - 1）维的图形
但是我们无法在这个n维空间中测量（n - 1）维图形的体积；
即高纬度空间无法测量低纬度图形的体积。
例如：在3维空间中，我们无法测量2维图形的体积；在2维空间中，我们无法测量1维图形的面积；

性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子 $k（k\neq0）$ ，则 $k$ 可提到行列式外面

这里我们以一个n维行列式为例：
$\begin{bmatrix} \quad a_{11}\quad a_{12}\quad ...\quad a_{1n} \\ \quad a_{21}\quad a_{22}\quad ...\quad a_{2n} \\ ... \\ \quad ka_{i1}\quad ka_{i2}\quad ...\quad ka_{in}\\...\\ \quad a_{n1}\quad a_{n2}\quad ...\quad a_{nn} \end{bmatrix} \xRightarrow{提出公因子k}|A| = k\begin{bmatrix} \quad a_{11}\quad a_{12}\quad ...\quad a_{1n} \\ \quad a_{21}\quad a_{22}\quad ...\quad a_{2n} \\ ... \\ \quad a_{i1}\quad a_{i2}\quad ...\quad a_{in}\\...\\ \quad a_{n1}\quad a_{n2}\quad ...\quad a_{nn} \end{bmatrix}$

根据这条性质，我们从右往左操作时，就变成了行列式的倍乘性质：

$k\begin{bmatrix} \quad a_{11}\quad a_{12}\quad ...\quad a_{1n} \\ \quad a_{21}\quad a_{22}\quad ...\quad a_{2n} \\ ... \\ \quad a_{i1}\quad a_{i2}\quad ...\quad a_{in}\\...\\ \quad a_{n1}\quad a_{n2}\quad ...\quad a_{nn} \end{bmatrix} \xRightarrow{第i行倍乘k} |A| = \begin{bmatrix} \quad a_{11}\quad a_{12}\quad ...\quad a_{1n} \\ \quad a_{21}\quad a_{22}\quad ...\quad a_{2n} \\ ... \\ \quad ka_{i1}\quad ka_{i2}\quad ...\quad ka_{in}\\...\\ \quad a_{n1}\quad a_{n2}\quad ...\quad a_{nn} \end{bmatrix}$

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆分成两个行列式之和

这条性质可以总结为行列式的可拆（加）性

行列式的可拆性

$\begin{bmatrix} a_{11}\quad\quad a_{12}\quad ...\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad\quad a_{22}\quad ...\quad a_{2n} \\ ... \\ b_{i1} + a_{i1}b_{i2} + a_{i2}...b_{in} + a_{in}\\...\\ a_{n1}\quad\quad a_{n2}\quad ...\quad a_{nn} \end{bmatrix} \xRightarrow{拆开第i行} \begin{bmatrix} a_{11}a_{12}...a_{1n} \\ a_{21}a_{22}...a_{2n} \\ ... \\ a_{i1}a_{i2}...a_{in}\\...\\ a_{n1}a_{n2}...a_{nn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{11}a_{12}...a_{1n} \\ a_{21}a_{22}...a_{2n} \\ ... \\ b_{i1}b_{i2}...b_{in}\\...\\ a_{n1}a_{n2}...a_{nn} \end{bmatrix}$

行列式的可加性

$\begin{bmatrix} a_{11}a_{12}...a_{1n} \\ a_{21}a_{22}...a_{2n} \\ ... \\ a_{i1}a_{i2}...a_{in}\\...\\ a_{n1}a_{n2}...a_{nn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{11}a_{12}...a_{1n} \\ a_{21}a_{22}...a_{2n} \\ ... \\ b_{i1}b_{i2}...b_{in}\\...\\ a_{n1}a_{n2}...a_{nn} \end{bmatrix} \xRightarrow{合并第i行} \begin{bmatrix} a_{11}\quad\quad a_{12}\quad ...\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad\quad a_{22}\quad ...\quad a_{2n} \\ ... \\ b_{i1} + a_{i1}b_{i2} + a_{i2}...b_{in} + a_{in}\\...\\ a_{n1}\quad\quad a_{n2}\quad ...\quad a_{nn} \end{bmatrix}$

两个行列式可以使用可加性的前提是：

这两个行列式中只有一行（列）不同其余行（列）相同。

因此在相加时，一定是：

其余行（列）不变，只有不同元素的行（列）相加

性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号

该性质称为互换性质

这里我们还是以n维行列式为例：

$\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad...\quad a_{1n}\\ a_{21}\quad a_{22}\quad...\quad a_{2n}\\ ...\\ a_{i1}\quad a_{i2}\quad...\quad a_{in}\\ ...\\ a_{k1}\quad a_{k2}\quad...\quad a_{kn}\\ ...\\ a_{n1}\quad a_{n2}\quad...\quad a_{nn} \end{bmatrix} \xRightarrow{第i行与第k行互换} -\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad...\quad a_{1n}\\ a_{21}\quad a_{22}\quad...\quad a_{2n}\\ ...\\ a_{k1}\quad a_{k2}\quad...\quad a_{kn}\\ ...\\ a_{i1}\quad a_{i2}\quad...\quad a_{in}\\ ...\\ a_{n1}\quad a_{n2}\quad...\quad a_{nn} \end{bmatrix}$

当行列式 $∣ A ∣$ 经过了m次行（列）的互换后，行列式最终会变为 $1)^m|A|$

交换偶数次： $∣ A ∣$
交换奇数次： $- ∣ A ∣$

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

这条性质我们可以从几何的角度来理解：

当两行（列）元素相等或对应成比例时，则说明这两个向量重合了

以二阶行列式 $\begin{bmatrix}1\quad2\\2\quad4\end{bmatrix}$ 为例，此时第一行与第二行对应成比例，其在坐标系中的位置关系如下所示：

性质6

由这两个向量为邻边所组成的二维图形为一条直线，而直线不存在面积，因此该二维图形的面积为零。

在前面的介绍中我们就说过，二阶行列式的值就是以组成二阶行列式的两个二维向量为邻边所构成的二维图形的面积。因此该二阶行列式的值同样为零。

性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

该性质称为倍加性质。这里我们以二阶行列式进行说明：

$\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\\ a_{21}\quad a_{22} \end{bmatrix} \xRightarrow{第一行的k倍加到第二行} \begin{bmatrix} a_{11}\quad\quad\quad\quad a_{12}\\ ka_{11} + a_{21}\quad ka_{12} + a_{22} \end{bmatrix} \\\ \\\ \xRightarrow{性质4} \begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\\ a_{21}\quad a_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\\ ka_{11}\quad ka_{12} \end{bmatrix} \xRightarrow{性质6} \begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\\ a_{21}\quad a_{22} \end{bmatrix} +0 =\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\\ a_{21}\quad a_{22} \end{bmatrix}$

可以看到，当我们通过性质4对行列式进行拆分后，我们就会得到一个存在两行（列）对应成比例的行列式 $∣ A^{'} ∣$ 与原行列式 $∣ A ∣$ ，根据性质6可知，行列式 $∣ A^{'} ∣$ 的值为0。因此行列式中的某行（列）的k倍加到另一行（列），并不会影响行列式的值。

3.3 第二种定义——行列式的逆序数法定义

排列与逆序

排列：由n个数 $1, 2, 3, ..., n$ 组成的一个有序数组称为一个n级排列。

如：12345 是一个5级排列；21453 也是一个5级排列；一个n级排列的个数共有 $n!$ 个

逆序：在一个n级排列 $i_1i_2...i_s...i_t...i_n$ 中，若 $i_s > i_t$ ，且 $i_s$ 排在 $i_t$ 的前面，则称这两个数构成一个逆序。

如：12345中，5 > 4，且 5 排在 4 的后面，则不构成逆序；在排列 21453 中，2 > 1，且 2 排在 1 的前面，这里就构成一个逆序

逆序数：在一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 $\tau(i_1i_2...i_n)$ 。

如： $\tau(21453) = 3$

2 > 1 且 2 排在 1 的前面，这里构成了 1 个逆序数

4 > 3 且 4 排在 3 的前面，这里构成了 1 个逆序数

5 > 3 且 5 排在 3 的前面，这里构成了 1 个逆序数

该排列的逆序数为 $\tau(21453) = 1 + 1 + 1 = 3$

再如： $\tau(621534) = 8$

6 > 2, 6 > 1, 6 > 5, 6 > 3, 6 > 4 且 6 排在首位，这里构成了 5 个逆序数

2 > 1 且 2 排在 1 的前面，这里构成了 1 个逆序数

5 > 3, 5 > 4 且 5 排在 3 与 4 的前面，这里构成了 2 个逆序数

该排列的逆序数为 $\tau(621534) = 5 + 1 + 2 = 8$

自然排序：在一个排序中，数字按照由小到大的顺序进行排列。

如： $\tau(12345) = 0$ ，在这个排列中，数字是按照由小到大进行排序，因此不存在大数排在小数前面的情况，自然也就不存在逆序数。
显然，自然排序的逆序数为 0。

奇排列与偶排列：排列的逆序数为奇数时，该排列为奇排列；排列的逆序数为偶数时，该排列为偶排列。

n阶行列式的定义

在n阶行列式中，我们在对其进行求值时，我们需要将行列式进行展开，对应行列式的值为：
$\sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$

这里我们默认每一个展开项中元素的行下标是自然排列，而列下标则是任一n级排列。故每项取自不同行，不同列的n个元素的乘积组成。每一项的正负由该项列下标的逆序数 $\tau(j_1j_2...j_n)$ 的奇偶决定：

列下标为奇排列，该项前面加负号
列下标为偶排列，该项前面加正号

这里我们以3阶行列式为例：
$\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad a_{13} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad a_{23} \\ a_{31}\quad a_{32}\quad a_{33} \end{bmatrix} = \sum_{j_1j_2j_3}(-1)^{\tau(j_1j_2j_3)}a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}$

在3阶行列式中，总共有 3! 项，每一项都取自不同行不同列的元素的乘积：

第一项：取第一行第一列、第二行第二列、第三行第三列元素的乘积，即： $a_{11}a_{22}a_{33}$ ，该项列下标为自然排序，对应的逆序数为 0
第二项：取第一行第二列，第二行第三列，第三行第一列元素的乘积，即： $a_{12}a_{23}a_{31}$ ，该项列下标为偶排列，对应的逆序数为 2
第三项：取第一行第三列、第二行第一列、第三行第二列元素的乘积，即： $a_{13}a_{21}a_{32}$ ，该项列下标为偶排列，对应的逆序数为 2
第四项：取第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列元素的乘积，即： $a_{13}a_{22}a_{31}$ ，该项列下标为奇排列，对应的逆序数为 3
第五项：取第一行第二列、第二行第一列、第三行第三列元素的乘积，即： $a_{12}a_{21}a_{33}$ ，该项列下标为奇排序，对应的逆序数为 1
第六项：取第一行第一列，第二行第三列，第三行第二列元素的乘积，即： $a_{11}a_{23}a_{32}$ ，该项列下标为奇排列，对应的逆序数为 1

因此，该行列式的值为：
$\begin{aligned} |A| &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} + (-a_{13}a_{22}a_{31}) + (-a_{12}a_{21}a_{33}) + (-a_{11}a_{23}a_{32}) \\ &=a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \end{aligned}$

当我们从逆序数的角度来理解行列式时，我们一定要注意一个点：

行列式的展开项中每一项中一定是行（列）下标为自然排序，列（行）下标的排序决定该项的正负

如：当我们要确定一个五阶行列式的展开项： $a_{12}a_{31}a_{54}a_{43}a_{25}$ 的正负时，我们应该如何操作呢？

$\begin{bmatrix} a_{11} & \textcolor{red}{\bm{a_{12}}} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \textcolor{red}{\bm{a_{25}}} \\ \\ \textcolor{red}{\bm{a_{31}}} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ \\ a_{41} & a_{42} & \textcolor{red}{\bm{a_{43}}} & a_{44} & a_{45} \\ \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & \textcolor{red}{\bm{a_{54}}} & a_{55} \\ \end{bmatrix}$

观察该展开项的各元素在原行列式中的位置可知，要确定该项的正负，我们无法使用主副对角线法，因此我们只能寻求其它的方式来确定该项的正负，如逆序数法。

在逆序数法中，我们需要先确保该项的行或列下标为自然排序，通过列或行下标来确定正负：

行下标自然排序： $a_{12}a_{25}a_{31}a_{43}a_{54}$ ，列下标的逆序数为 $\tau(25134) = 4$
列下标自然排序： $a_{31}a_{12}a_{43}a_{54}a_{25}$ ，行下标的逆序数为 $\tau(31452) = 4$

可以看到，不管是通过列下标的逆序数还是行下标的逆序数，都能够确定该项的符号为正号。

3.4 第三种定义——行列式的展开定理定义

当行列式的阶数超过3时，如果我们继续使用本质定义和逆序数定义法来求取行列式的值时，那简直不要太麻烦。为此，我们就需要了解行列式的第三中定义——展开定理。

余子式

如何理解余子式？

这里我们可以将其拆开进行理解：

余：剩余
子式：行列式，原行列式的一部分

也就是说余子式就是剩余的行列式。那什么是剩余的行列式呢？

在n阶行列式中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第i行、第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作： $M_{ij}$ ，即：

$\begin{array}{c} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \textcolor{red}{\mathbf{a_{1j}}} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \textcolor{red}{\mathbf{\vdots}} & \ddots & \vdots \\ \textcolor{red}{\mathbf{a_{i1}}} & \textcolor{red}{\mathbf{\cdots}} & \textcolor{red}{\mathbf{a_{ij}}} & \textcolor{red}{\mathbf{\cdots}} & \textcolor{red}{\mathbf{a_{in}}} \\ \vdots & \ddots & \textcolor{red}{\mathbf{\vdots}} & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{red}{\mathbf{a_{nj}}} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\[3ex] % 增加垂直间距 \underset{\text{\scriptsize 去掉第 }i\text{\scriptsize 行和第 }j\text{\scriptsize 列}}{\big\downarrow} \\[2ex] % 增加垂直间距 M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{array}$

代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $1)^{i+j}$ 后称为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}$ ，即：

$A_{ij} = (-1)^{ij}M_{ij}$

行列式按照某行（列）展开的展开公式

行列式等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即：
$\begin{cases} a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}(i = 1, 2, ..., n) \\ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}(j = 1, 2, ..., n) \end{cases} \\$

按行展开
例如： $\\|A|_{3×3}\xRightarrow{按第一行展开}a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\\|A|_{4×4}\xRightarrow{按第二行展开}a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+a_{24}A_{24}\\|A|_{5×5}\xRightarrow{按第三行展开}a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}+a_{34}A_{34}+a_{35}A_{35}$

按列展开

例如： $\\|A|_{3×3}\xRightarrow{按第一列展开}a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}\\|A|_{4×4}\xRightarrow{按第二列展开}a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32}+a_{42}A_{42}\\|A|_{5×5}\xRightarrow{按第三行展开}a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}+a_{43}A_{43}+a_{53}A_{53}$

可以看到根据行列展开公式，当我们在求一个n阶行列式时，我们只需要按照某行（列）依次求取其元素的代数余子式即可。

整个展开的过程本质上是一个降阶的过程，将n阶行列式降阶为 (n - 1) 阶行列式，虽然经过降阶后导致需要求取的 (n - 1) 阶的行列式个数增加，但是计算难度大幅度降低，因此行列式展开非常适合求取高阶行列式。

【11408学习记录】考研数学攻坚：行列式本质、性质与计算全突破

行列式

数学

线性代数

一、对象（元素）：向量

二、运算

三、行列式

3.1 第一种定义——行列式的本质定义

3.2 行列式的性质

性质1：行列互换，其值不变

性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子 $k（k\neq0）$ ，则 $k$ 可提到行列式外面

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆分成两个行列式之和

性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

3.3 第二种定义——行列式的逆序数法定义

排列与逆序

n阶行列式的定义

3.4 第三种定义——行列式的展开定理定义

余子式

代数余子式

行列式按照某行（列）展开的展开公式

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【11408学习记录】考研数学攻坚：行列式本质、性质与计算全突破

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一、对象（元素）：向量

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三、行列式

3.1 第一种定义——行列式的本质定义

3.2 行列式的性质

性质1：行列互换，其值不变

性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子 k （ k ≠ 0 ） k（k\neq0） k（k=0） ，则 k k k 可提到行列式外面

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆分成两个行列式之和

性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

3.3 第二种定义——行列式的逆序数法定义

排列与逆序

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代数余子式

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