以下是MATLAB中核心算法及其数学方程式的系统总结，涵盖数值计算、优化、微分方程、机器学习等领域，结合实现函数与数学原理分类说明：
一、数值计算方法
1. 线性方程组求解
直接法
- LU分解：
A = LU，解Ly = b，Ux = y[L, U] = lu(A); x = U \ (L \ b); % 矩阵分解求解 - QR分解（超定方程组）：
\min \|Ax - b\|_2→Rx = Q^Tb[Q, R] = qr(A); x = R \ (Q' * b); % 最小二乘解
- LU分解：
迭代法（大规模稀疏矩阵）
- 共轭梯度法（CG）：
x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k p_k，\alpha_k = \frac{r_k^T r_k}{p_k^T A p_k}x = pcg(A, b, tol, max_iter); % 对称正定矩阵专用
- 共轭梯度法（CG）：
2. 非线性方程求解
- 单变量方程：
f(x) = 0→ 二分法或牛顿迭代法f = @(x) x + exp(x) - 5; x_sol = fzero(f, 1); % 初值1附近搜索 - 多变量方程组：
F(x) = 0→ 信赖域法（Trust-region）F = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 1; sin(x(1)) - x(2)]; x_sol = fsolve(F, [0,0]); % 数值求解
3. 数值微积分
- 自适应高斯-克朗罗德积分：
\int_a^b f(x)dx \approx \sum w_i f(x_i)q = integral(@(x) sin(x)./x, 0, Inf); % 振荡函数积分 - 中心差分微分：
f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}h = 1e-5; df = (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h); % 截断误差O(h²)
二、优化算法
1. 线性规划（LP）
\min c^T x \quad \text{s.t.} \quad A x \leq b, \quad A_{eq} x = b_{eq}
c = [2; 1]; A = [1, 1; -1, 2]; b = [4; 1];
x = linprog(c, A, b); % 内点法求解2. 非线性规划（NLP）
- 有约束优化：
\min f(x) \quad \text{s.t.} \quad g(x) \leq 0f = @(x) -x(1)*x(2)*x(3); % 最大化体积→最小化负体积 nonlcon = @(x) deal([], 2*(x(1)*x(2)+x(1)*x(3)+x(2)*x(3))-24); % 表面积约束 x_opt = fmincon(f, [1,1,1], [], [], [], [], [0,0,0], [], nonlcon); % SQP算法
3. 整数规划（MIP）
\min c^T x \quad \text{s.t.} \quad x_i \in \mathbb{Z}
intcon = [1,2]; % 指定x1,x2为整数
x = intlinprog(c, intcon, A, b); % 分支定界法三、微分方程求解
1. 常微分方程（ODE）
- 初值问题：
\frac{dy}{dt} = f(t,y), \quad y(t_0) = y_0f = @(t,y) -2*y; % dy/dt = -2y [t, y] = ode45(f, [0, 3], 1); % Runge-Kutta法 - 边值问题：
y'' = f(x,y,y'), \quad y(a) = \alpha, \quad y(b) = \betasol = bvp4c(@(x,y) [y(2); -y(1)], @(ya,yb) [ya(1); yb(1)-1], solinit); % 打靶法
2. 偏微分方程（PDE）
c(x,t,u) \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (f \nabla u) + s
sol = pdepe(m, @pdefun, @icfun, @bcfun, xmesh); % 有限差分法四、统计与拟合算法
1. 回归分析
- 线性回归：
Y = X\beta + \varepsilon→\hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T Ybeta = regress(Y, X); % 最小二乘估计 - 非线性拟合：
y = f(x, \beta) + \varepsilon→ Levenberg-Marquardt优化modelfun = @(b,x) b(1)*exp(b(2)*x); % 指数拟合 beta = nlinfit(x, y, modelfun, [1, -0.1]); % 迭代求解
2. 概率分布
- 分布拟合：
pd = fitdist(data, 'Normal'); % 最大似然估计 - 假设检验：
[h, p] = ttest2(data1, data2); % 双样本t检验（h=1拒绝原假设）
五、特殊函数与信号处理
1. 特殊函数计算
| 函数 | MATLAB调用 | 数学形式 |
|---|---|---|
| 贝塞尔函数 | besselj(n, x) |
J_n(x) |
| 伽马函数 | gamma(x) |
\Gamma(x) |
| 误差函数 | erf(x) |
\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt |
2. 傅里叶变换
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt
Y = fft(signal); P1 = abs(Y/L); % 频谱分析六、机器学习算法
1. 监督学习
- 支持向量机（SVM）：
\min \frac{1}{2} \|w\|^2 + C \sum \xi_iSVMModel = fitcsvm(X, y, 'KernelFunction', 'rbf'); % 核函数选择 - 决策树：
信息增益最大化I(D) - \sum \frac{|D_i|}{|D|} I(D_i)tree = fitctree(X, y); view(tree, 'Mode', 'graph'); % 可视化树结构
2. 无监督学习
- K均值聚类：
\min \sum_{i=1}^k \sum_{x \in C_i} \|x - \mu_i\|^2[idx, C] = kmeans(X, 3); % 聚类数为3 - 主成分分析（PCA）：
\max_{w} w^T \Sigma w \quad \text{s.t.} \quad \|w\|=1[coeff, score] = pca(X); % 降维与特征提取
七、深度学习框架
1. 网络构建
layers = [
imageInputLayer([28 28 1]) % 输入层
convolution2dLayer(5, 20) % 卷积层
reluLayer % ReLU激活
fullyConnectedLayer(10) % 全连接层
softmaxLayer % 分类层
classificationLayer]; % 输出层数学原理：卷积运算 (I * K)_{ij} = \sum_m \sum_n I_{i+m,j+n} K_{m,n}
2. 模型训练
options = trainingOptions('sgdm', ...
'InitialLearnRate', 0.01, ...
'MaxEpochs', 10);
net = trainNetwork(trainImages, trainLabels, layers, options); % SGD优化反向传播方程：\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial w}（链式法则）
⚡ 八、算法实现技巧
- 稀疏矩阵处理
A \in \mathbb{R}^{n \times n}非零元少 → 节省存储与计算S = sparse(A); x = S \ b; % 专用求解器加速 - 向量化编程
避免循环，使用矩阵运算：% 非向量化（慢） for i = 1:n, y(i) = sin(x(i)); end % 向量化（快） y = sin(x); - GPU加速
gpuX = gpuArray(X); gpuY = fft(gpuX); % GPU并行计算
总结
MATLAB的算法体系覆盖数值计算（矩阵分解、微积分）、优化（LP/NLP/MIP）、微分方程（ODE/PDE）、数据科学（回归/聚类/PCA）及AI（SVM/CNN）五大领域。其优势在于：
- 数学基础扎实：如LU分解解线性系统、Runge-Kutta法解ODE；
- 工程整合强：优化与微分方程求解嵌入物理建模（如弹簧系统）；
- AI部署便捷：从SVM分类到CNN图像识别无缝衔接。
更多实现细节可参考：
- 数值计算：MATLAB数值计算案例分析
- 深度学习：MATLAB深度学习框架教程